Tw. Wilsona

[realityoppa]

Dowieść że jeżeli liczba \(\displaystyle{ 4k+3}\) jest pierwsza, to jedna z liczb \(\displaystyle{ (2k+1)!-1}\) lub \(\displaystyle{ (2k+1)!+1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 4k+3}\)

[Vax]

Z tw Wilsona

\(\displaystyle{ (4k+2)! \equiv -1\pmod{4k+3} \iff (2k+1)! \cdot (2k+2)(2k+3)...(4k+2) \equiv -1\pmod{4k+3} \iff -(2k+1)! \cdot (2k+1)! \equiv -1\pmod{4k+3} \iff ((2k+1)!)^2 \equiv 1\pmod{4k+3} \iff ((2k+1)!-1)((2k+1)!+1) \equiv 0\pmod{4k+3}}\)