całka potrójna - błąd w odpowiedziach?

[hannah000]

Mam taką całkę

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{ \sqrt{1- x^{2} } }\int\limits_{ \sqrt{x^{2}+ y^{2} } }^{ \sqrt{1- x^{2} - y^{2} } } z^{2} dx dy dz}\)

Przeszłam na współrzędne sferyczne i wychodzi mi inaczej niż w odpowiedziach. Mam prośbę, czy mógłby ktoś policzyć tę całkę i napisać jaka mu wyszła odpowiedź?
W odpowiedziach ksiązki jest: \(\displaystyle{ \frac{1}{15} \pi (2 \sqrt{2} -1)}\)
a mnie wychodzi: \(\displaystyle{ \frac{1}{30} \pi (4- \sqrt{2})}\)

Liczyłam też tą całkę w Wolfram Alpha i odpowiedź była taka sama jak moja.

-- 5 sie 2013, o 21:59 --

Liczyłam tak:

\(\displaystyle{ \ x = \ r \ sin(a) \ cos(b)}\)
\(\displaystyle{ \ y= \ r \ sin(a) \ sin(b)}\)
\(\displaystyle{ \ z = \ r \ cos(a)}\)
\(\displaystyle{ \ J = r^{2} \ sin(a)}\)

r-promień
a-kąt między promieniem a osią Oz
b-kąt między rzutem promienia na płaszczyznę xy a osią Ox

\(\displaystyle{ \ 0 \le r \le 4}\)
\(\displaystyle{ \ 0 \le b \le 2 \pi}\)
\(\displaystyle{ \ 0 \le a \le \frac{ \pi}{4}}\)

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1} \mbox{d}r \int\limits_{0}^{2 \pi } \mbox{d}b \int\limits_{0}^{\frac{ \pi}{4} } \ r^{2} \ cos^{2}(a) \ r^{2} \ sin(b) \mbox{d}a}\)

[yorgin]

Jeśli \(\displaystyle{ x\in \left[ 0,1 \right]}\) oraz \(\displaystyle{ y\in \left[ 0,\sqrt{1-x^2} \right]}\), to na pewno nie dostaniemy całego koła, co sugeruje Twoja zamiana zmiennych.

[hannah000]

Prosiłabym o bardziej szczegółową podpowiedź, bo dalej nie wiem czemu nie jest tak jak ja to rozwiązałam.

[yorgin]

Narysuj sobie zbiór odpowiadający punktom wymienionym przeze mnie w poprzednim poście. Jest to rzut bryły na płaszczyznę \(\displaystyle{ OXY}\). Sprawdź, czym to jest i porównaj z granicami zamiany zmiennych, które przyjęłaś.