Obliczenie objętości - całka potrójna

[hannah000]

Bardzo proszę o pomoc z obliczeniem objętości.

Trzeba obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami

\(\displaystyle{ \ 2 z = x^{2}+y^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \ z = \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\)

Całkę zapisałałam tak:

\(\displaystyle{ \iint_{D}\int_{ \frac{1}{2}( x^{2}+y^{2})}^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}dx dy dz}\)

D - obszar
i teraz przechodzę na współrzędne biegunowe (\(\displaystyle{ \ 2 \sqrt{2} \le r \le 4}\) oraz \(\displaystyle{ \0 \le q \le 2 \pi}\)) r - promień q - kąt

\(\displaystyle{ \int_{2 \sqrt{2}}^{4} dr \int_{0}^{2 \pi } \ (r- \frac{1}{2} r^{3})r dq}\)

Wynik wychodzi mi ujemny, co robię źle?

[yorgin]

Całkę zapisałałam tak:

\(\displaystyle{ \iint_{D}\int_{ \frac{1}{2}( x^{2}+y^{2})}^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}dx dy dz}\)

Ten zapis jest nieprawidłowy. Czym jest \(\displaystyle{ D}\)?

i teraz przechodzę na współrzędne biegunowe (\(\displaystyle{ \ 2 \sqrt{2} \le r \le 4}\) oraz \(\displaystyle{ \0 \le q \le 2 \pi}\)) r - promień q - kąt

A skąd masz takie granice dla promienia? Ten zakres wychodzi w ogóle poza bryłę.

[hannah000]

D jest obszarem po którym całkujemy? W tym przypadku będzie to pierścień.
Stożek ogranicza objętość od góry a paraboloida od dołu? Dobrze myślę?

A promień policzyłam tak: przyrównałam równania obu płaszczyzn i wyszło mi tak:

\(\displaystyle{ \ 2 z = z^{2}}\)
\(\displaystyle{ \ z^{2} - \ 2 z = \ 0}\)
\(\displaystyle{ \ z = \ 0 \vee z = \ 2}\)

i teraz z nie może być równe 0 bo wtedy nie było by żadnego obszaru więc jest równe 2 no i podstawiłam to 2 do obu równań płaszczyzn i wyszło mi że promień jest mniejszy od 4 (teraz zauważyłam błąd)

czyli

\(\displaystyle{ \ 0 \le r \le 4}\)
\(\displaystyle{ \ 0 \le q \le 2 \pi}\) ?

[yorgin]

Czytając kolejno:

D jest obszarem po którym całkujemy? W tym przypadku będzie to pierścień.
Stożek ogranicza objętość od góry a paraboloida od dołu? Dobrze myślę?

Tak. Nie. Tak. Pół na pół.

A promień policzyłam tak: przyrównałam równania obu płaszczyzn i wyszło mi tak:

\(\displaystyle{ \ 2 z = z^{2}}\)
\(\displaystyle{ \ z^{2} - \ 2 z = \ 0}\)
\(\displaystyle{ \ z = \ 0 \vee z = \ 2}\)

Metoda poprawna, wynik poprawny.

i teraz z nie może być równe 0 bo wtedy nie było by żadnego obszaru więc jest równe 2 no i podstawiłam to 2 do obu równań płaszczyzn i wyszło mi że promień jest mniejszy od 4 (teraz zauważyłam błąd)

Dlaczego \(\displaystyle{ z}\) nie może być zerem? Na wysokości \(\displaystyle{ z=0}\) mamy \(\displaystyle{ x=y=0}\) i to jest punkt przecięcia obu powierzchni (nie płaszczyzn!). Promień nie jest mniejszy od \(\displaystyle{ 4}\), lecz od \(\displaystyle{ \ldots}\) ?

\(\displaystyle{ \ 0 \le r \le 4}\)
\(\displaystyle{ \ 0 \le q \le 2 \pi}\) ?

Promień do poprawy, kąty ok.

[hannah000]

No tak
promień jest \(\displaystyle{ \ 0 \le \ r \le \ 2}\)

Ale w taki razie co z pierścieniem? Patrząc od góry będzie to jakby pierścień?

I czemu paraboloida ogranicza pół na pół od dołu objętość?

No i oczywiście nie są to płaszczyzny ale powierzchnie!

[yorgin]

Patrząc z góry będzie to koło. Skąd w ogóle upierasz się przy tym pierścieniu?

Nie rozumiem również pytania z paraboloidą. Przecież paraboloida przecina stożek w dwóch płaszczyznach: \(\displaystyle{ z=0}\) oraz \(\displaystyle{ z=2}\).