Zbadać czy podany ciąg jest ograniczony z dołu, z góry.

[jumper4]

Proszę o pomoc:
\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{4 ^{n}-1 }{2 ^{ n}+3 } = \frac{ 2^{2n}-1 }{2 ^{n}+3 } = \frac{2 ^{2n}(1- \frac{1}{ 2^{2n} } ) }{2 ^{n}( 1- \frac{3}{2 ^{n} }) }=2 ^{n}}\)
Ciąg ma granicę niewłaściwą w \(\displaystyle{ + \infty}\). Ciąg nie jest ograniczony z góry.
Teraz sprawdźmy ograniczenie z dołu (proszę powiedzcie czy da się prościej):
Kolejno:
1) Ciąg jest rosnący, bo ma granicę niewłaściwą w \(\displaystyle{ + \infty}\). ??? (tutaj mam wątpliwości czy jest rosnący cały czas, czyli muszę podzielić dodatkowo \(\displaystyle{ \frac{a _{n+1} }{a _{n}}=nie \ wiadomo \ co}\)
2)Dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy: \(\displaystyle{ a _{1}= \frac{3}{5}}\) I to jest dolna granica.
Tylko jak udowodnić, że ciąg jest cały czas od \(\displaystyle{ n=1}\) rosnący (monotoniczny)... \(\displaystyle{ \frac{a _{n+1} }{a _{n}}}\) Nijak nie udaje mi się skrócić...
Aby otrzymać \(\displaystyle{ \frac{a _{n+1} }{a _{n}} > 1 \ dla \ n \in N}\)

Na przykład czy \(\displaystyle{ a_{2} < a _{1}}\)

Czy jak jest zbieżny do nieskończoności to musi być stale (dla dowolnego n) rosnący

[Barbara777]

Przede wszystkim nie jest prawda, ze \(\displaystyle{ a_n=2^n}\)
Ciag nie jest ograniczony z gory, bo zmierza do nieskonczonosci.
Jest ograniczony od dolu np przez 0.
*
Ciag, ktory zmierza do nieskonczonosci nie musi byc rosnacy.

[robertm19]

Jeżeli jest rozbieżny do \(\displaystyle{ \infty}\) to dla każdego \(\displaystyle{ M>0}\) istnieje \(\displaystyle{ n_{0}}\) takie, że \(\displaystyle{ \wedge _{n\ge n_{0}}\quad a_{n}>M}\).
Czyli od \(\displaystyle{ a_{n_0}}\) do nieskończoności ciąg jest ograniczony od dołu przez \(\displaystyle{ M}\). Zostaje tylko skończona liczba pierwszych wyrazów.
Zatem ograniczeniem dolnym jest liczba \(\displaystyle{ \min\{a_{1},...,a_{n_{0}-1},M\}}\).

[jumper4]

OK, dziękuję, a czy poprawny "matematycznie" (tzn. dla wykładowcy) jest zapis:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{\left( n^{20}+2\right)^{3} }{\left( n^3+1\right)^{20} }= \lim_{n \to \infty } \frac{n^{60}}{n^{60}}=1}\)

Nie chcę rozpisywać ze wzorów skróconego mnożenia, bo chyba nie ma sensu
Jeszcze gdzieś błąd bym zrobił...

Tylko jakiś chyba by komentarz się przydało do tego napisać, tylko nie mam pomysł jaki...
Może: "Zauważając, że najwyższe potęgi licznika i mianownika są równe", wystarczy ?

[Premislav]

Nie znam Twojego wykładowcy, więc nie wiem, ale osobiście dla bezpieczeństwa podzieliłbym licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ n ^{60}}\), a potem zastosowałbym tw. o \(\displaystyle{ 3}\) ciągach. Albo od razu tw. o \(\displaystyle{ 3}\) ciągach.

[jumper4]

Ale z tym twierdzeniem o trzech ciągach, to trzeba, będzie korzystać ze wzorów skrócanego mnożenia ?
Czy da się bez, tzn. do jakich ciągów ten ciąg najlepiej porównać ?

[ares41]

Można rozpisać nie rozpisując. Piszemy po prostu \(\displaystyle{ (n^{20}+2)^3=n^{60} + R_n}\), gdzie \(\displaystyle{ \deg(R_n)<60}\). Analogicznie mianownik i dzielimy przez najwyższą potęgę.

[jumper4]

Może komuś się przyda... wykombinowałem , że można i tak (zapis dobry matematycznie ):
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{\left( n^{20}+2\right)^{3} }{\left( n^3+1\right)^{20} }=
\lim_{ n\to \infty } \frac{\left( n^{20}\left(1 + \frac{2}{n^{20}} \right) \right)^{3} }{\left( n^3\left( 1+ \frac{1}{n^3} \right) \right)^{20} }=
\left[ { \frac{\left( n^{20}\left(1 + 0 \right) \right)^{3} }{\left( n^3\left( 1+ 0\right) \right)^{20} }\right] =
\left[ \frac{n^{60}}{n^{60}}} \right]=1}\)

[yorgin]

Raczej

\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n^{20}+2)^3}{(n^3+1)^{20}}=
\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\left(n^{20}\left(1+\frac{2}{n^{20}})\right\right)^3}{\left(n^3\left(1+\frac{1}{n^3}\right)\right)^{20}}=
\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\left(1+{\red \frac{2}{n^{20}}}\right)^3}{\left(1+{\red \frac{1}{n^3}}\right)^{20}}=
1}\)

gdzie wyrażenia na czerwono zbiegają do zera.

[Barbara777]

Jest taki fajny zapis, tzw symbole Lwa Landau'a (zwane tez czasem "o małe" i "O duże").

Dla ciagow "o male" wyglada tak:

\(\displaystyle{ a_n=\textrm{o} (b_n)}\) jesli \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=0}\)

czyli np

\(\displaystyle{ (n^{20}+2)^3=n^{60}+\textrm{o}(n^{60})}\)
*
Czasem pisze sie tez \(\displaystyle{ a_n\sim b_n}\) i oznacza to, ze \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L}\)
gdzie \(\displaystyle{ L}\) jest liczba rozna od zera.
(To jest relacja rownowaznosci)
Czyli oznacza to, ze w nieskonczonosci ciagi zachowuja sie "tak samo". Tylko ze ten zapis juz nie jest chyba taki popularny, wiec trzeba by skomentowac, jesli sie go uzywa. Ja osobiscie lubie go stosowac przy badaniu szeregow,jest wygodny np

\(\displaystyle{ \frac{n^2+5}{n^3+3n-4}\sim\frac{1}{n}}\) albo

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt[12]{n^{11}}+\sqrt[3]n}{n^2+4n+7}\sim\frac{1}{n^{\frac{13}{12}}}}\)

***

Wiec wracajac do twojego przykladu mamy \(\displaystyle{ a_n\sim 2^n}\)