szacowanie sumy

[Czeczot]

Czy mógłby ktoś mi napisać jakie są sposoby aby w miarę efektywnie porównywać liczby \(\displaystyle{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}}\) i \(\displaystyle{ r}\) gdzie \(\displaystyle{ n}\) naturalne a \(\displaystyle{ r>0}\) wymierne? Czy bez szeregów i całek da się to jakoś w miarę efektywnie oszacować (znając n i r)? Obliczanie takiej sumy jest dość uciążliwe jeśli nie ma się pod ręką kalkulatora.

[omicron]

\(\displaystyle{ H_n\approx \ln(n)+\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+\gamma}\)

Maksymalny błąd sprawdzony empirycznie dla \(\displaystyle{ 1<n<100}\) to \(\displaystyle{ 0.0006...}\) dla \(\displaystyle{ \gamma=0.577}\). Aczkolwiek nie wiem jak z obliczaniem logarytmu bez kalkulatora.