Udowodnić nierówność

[Varimatras]

Witam

Moje zadanie to udowodnić nierówność. Proszę o sprawdzenie mojego toku rozumowania. Będzie to też jakby sprawdzenie tego co się nauczyłem w poprzednim temacie który zakładałem. To zadanie jest dla mnie szczególnie ważne bo było na egzaminie który oblałem więc proszę śmiało wytykać mi nawet najmniejsze drobiazgi i nieścisłości.

\(\displaystyle{ \frac{2x\arctan (x)}{\ln (x^2+1)} \ge 1}\)

\(\displaystyle{ 2x\arctan (x) \ge \ln (x^2+1)}\)
Pochodna:
\(\displaystyle{ 2\arctan (x) + \frac{2x}{x^2+1} \ge \frac{2x}{x^2+1}}\)
\(\displaystyle{ \arctan (x) \ge 0}\)

Co znaczy że dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\) pochodna jest dodatnia a więc funkcja jest rosnąca. Dla \(\displaystyle{ x \le 0}\) pochodna jest ujemna a więc funkcja jest malejąca.

Pozostaje pytanie co dla \(\displaystyle{ x=0}\)

Liczę granice prawo i lewostronną dla zera. Obliczenia pominę ponieważ sporo tam było de' Hospital'a. Wynik w każdym razie sprawdzony i potwierdzony. Granica to dwa. Teraz moja argumentacja. Jeżeli dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\) funkcja stale rośnie to nigdy nie przyjmuje wartości mniejszej niż 2. Ponadto jeżeli funkcja dla dla \(\displaystyle{ x \le 0}\) maleje to nigdy nie osiąga wartości mniejszej niż 2.

Koniec

[PiotrowskiW]

Wygląda to dobrze.
Możesz też robić takie zadania przez tworzenie nowej funkcji ( w tym przypadku \(\displaystyle{ F(x)=2x\arctan (x)- \ln (x^2+1)}\) i szukania jej ekstremum globalnego, korzystając z warunku równoważnego do tego, który zastosowałeś-chodzi mi o ten, gdzie badamy znak drugiej pochodnej.Wydaje mi się, że czasami tak jest prościej.

[robertm19]

Nie widzę ostatecznej odpowiedzi. Oczywiście jest to \(\displaystyle{ R \setminus \{0\}}\).