Granica ciągu

[luki1248]

Mam problem z policzeniem granicy ciągu, nie wiem jak się za nią zabrac \(\displaystyle{ \sqrt[n]{5 \cdot 2^{n}+ 3^{n}+7}}\)

[miodzio1988]

twierdzenie o trzech ciągach

[luki1248]

Czyli ograniczyc go z góry i z dołu tak??

[miodzio1988]

zgadza się

[luki1248]

No właśnie nie wiem jak go ograniczyc.

Ograniczyłem go z dołu \(\displaystyle{ \sqrt[n]{3^n}}\) i z góry \(\displaystyle{ \sqrt[n]{7 \cdot 3^n}}\)

Granica wychodzi mi 3 czy to dobrze ??

A jak obliczyc granice \(\displaystyle{ \sqrt[n]{1^2+2^2+...+n^2}}\), też go muszę ograniczyc??

[miodzio1988]

zgadza się

[luki1248]

Ograniczyłem ten przykład \(\displaystyle{ \sqrt[n]{1^2+2^2+...+n^2}}\) z dołu \(\displaystyle{ \sqrt[n]{1^2}}\) i z góry \(\displaystyle{ \sqrt[n]{2^2}}\) i wyszło mi 1 czy dobrze??

[miodzio1988]

z gory do bani ograniczenie

[luki1248]

Z góry będzie \(\displaystyle{ \sqrt[n]{3 \cdot 2^2}}\) tak??

[omicron]

Podpowiedź. To co jest pod pierwiastkiem jest nieograniczone, więc nie da się tego ograniczyć ciągiem stałym - będzie on zależał od \(\displaystyle{ n}\).

[Mariusz M]

Ja bym proponował zamienić sumę na iloczyn korzystając np z rachunku różnicowego
i wtedy będzie widać że jedynka jest granicą

\(\displaystyle{ f=n^2\\
\Delta f=\left( n+1\right)^2-n^2=2n+1\\
\left( \Delta\right)^2 f =2\left( n+1\right)+1-\left( 2n+1\right)=2n+3-2n-1=2\\
n^2=0 \cdot 1+1 \cdot n^{\underline{1}}+\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot n^{\underline{2}}\\
\sum_{k=0}^{n}{k^2}=\frac{1}{2}\left( n+1\right)n+\frac{1}{3}\left( n+1\right)n\left( n-1\right)\\
\sum_{k=0}^{n}{k^2}=\frac{1}{6}n\left(n+1\right)\left( 3+2n-2\right)\\
\sum_{k=0}^{n}{k^2}=\frac{1}{6}n\left(n+1\right)\left( 2n+1\right)\\}\)

Granicę można zapisać w postaci

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }{ \sqrt[n]{\frac{1}{6}n\left(n+1\right)\left( 2n+1\right)} }\\}\)

[luki1248]

A można to w jakiś łatwiejszy sposób pokazac??
Nie rozumiem tego spopobu nawet nie, wiem co tu sie stało.
A moża pokazac to jakoś tak, że ograniczymy go z dołu i góry??

Mogę to ograniczyc z góry w ten sposób Z góry będzie \(\displaystyle{ \sqrt[n]{3 \cdot n^2}}\) tak??

[omicron]

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{1^2+2^2+...+n^2}\leq\sqrt[n]{n^2+n^2+...+n^2}=\sqrt[n]{n^3}}\).

[luki1248]

Wie może ktoś jak rozwiązac taka granice \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } (\frac {n}{n+2}) ^{n}}\). W liczniku dodałem i odjołem 2 i wyszło mi \(\displaystyle{ (1 + \frac {-2}{n+2}) ^{n}}\) i co dalej

[bakala12]

luki1248, granica z \(\displaystyle{ e}\).