teoria względności - problem toru pętli

[meggi-l]

Oto coś, co ostatnio mnie nurtuje i nie znalazłam odpowiedzi mimo usilnych poszukiwań.

Załóżmy, że z Ziemi startuje statek kosmiczny/cobądź innego, nabiera prędkości bliskiej c i odbywa podróż po torze mniej więcej w kształcie okręgu. Wraca na Ziemię. Co wskażą zegary na Ziemi i w pojeździe?
Wiadomo, że z każdego układu inercjalnego ten drugi układ inercjalny wydaje się spowolniony. (Mnie się zdaje, że teoria względności tłumaczy co zegary wskazują w trakcie ruchu, ale co się dzieje potem już nie.)

[AiDi]

Ale zasadnicza kwestia - nie masz tu żadnego układu inercjalnego, ruch po torze nie będącym prostą, to ruch z przyspieszeniem.
A efektywnie - w rakiecie upłynie mniej czasu, właśnie ze względu na przyspieszenie tego układu nie ma symetrii a'la "wg jednego u niego czas płynie wolniej, a wg drugiego u niego". Klasycznie, w paradoksie bliźniąt, to się rozpatruje jednego kolesia na Ziemi (zakładając niesłusznie, że jest układem inercjalnym) i drugiego, który porusza się ze stałą prędkością względem Ziemi (a więc po torze prostoliniowym - jest to układ inercjalny). I tak, jeden twierdzi, że u niego czas wolniej płynie, a drugi, że u niego. I nie ma sprzeczności, bo oni się w takiej sytuacji nie spotkają i nie będą mogli swoich obserwacji porównać. Żeby się spotkać, ten w rakiecie musi zawrócić - i to jest moment w którym symetria zostaje złamana, bo rakieta przestaje być układem inercjalnym. Po powrocie obaj stwierdzą, że w rakiecie upłynęło mniej czasu niż na Ziemi.

[mdd]

Ekspert ze mnie żaden w tym temacie... natomiast może tutaj znajdziesz coś dla siebie:

rozdział 2.7 (str 36, 37, 38)

[AiDi]

W książce Szymachy jest nawet obliczony skok czasu przy przyspieszaniu. Jak coś to mogę zapodać.

[meggi-l]

Dzięki
AiDi: Możesz wstawić ten skok czasu?

[AiDi]

Więc generalnie to tak trochę z kontekstu wyrwane będzie, bo sama dyskusja ma w książce 4 strony, ale.
Mamy bliźniaka lecącego w rakiecie z prędkością \(\displaystyle{ v}\). W momencie, kiedy zegar na Ziemi wskazuje \(\displaystyle{ T/2}\), rakieta gwałtownie (bardzo bardzo szybko) zmieniła prędkość na przeciwną: \(\displaystyle{ -v}\). Można obliczyć, że po powrocie różnica czasu wyniesie:
\(\displaystyle{ T\frac{\frac{v^2}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}\).

[Fibik]

Po zamkniętej pętli masz zawsze większą średnią tych kwadratów prędkości, niż dla stałej prędkości.

Po prostu gdy jeden stoi, lub jedzie jednostajnie, wtedy masz tylko jakieś tam: v;
a dylatacja z zależy praktycznie od \(\displaystyle{ v^2}\).

A gdy robisz dowolną pętlę, wtedy masz tam jakieś u(t), i plus tamte v, czyli razem v + u(t);
ale średnia <u> musi być zero, bo inaczej pętli nie będzie, np. +u, i wracamy -u, średnia u - u = 0.
Po kole tak samo wyjdzie: u = |u|[cosf, sinf], no i całka od zera do 2pi po f = 0, oczywiście.

nas interesuje znowu kwadrat, czyli takie coś: \(\displaystyle{ (v + u(t))^2 = v^2 + 2vu(t) + u(t)^2}\),
i to będzie zawsze większe od \(\displaystyle{ v^2}\), i stąd ten myk z odmładzaniem zawsze podróżującego bliźniaka, a nie tego w domu.

Ta część 2vu się wyzeruje znowu, ale <u^2> już przecież nie, dla dowolnych niezerowych u(t) <> 0.
Dla stałej szybkości, po okręgu czy dowolnie, zostanie nam: \(\displaystyle{ |u|^2}\).
Zatem dylatacja musi być większa: \(\displaystyle{ v^2 + u^2 - v^2 = u^2 > 0}\).

Przyspieszenia nie mają tu żadnego znaczenia.
Minimum normy dowolnej funkcji typu \(\displaystyle{ V(t)^2}\) jest po prostu dla V(x) = v = const, czyli funkcji stałej .