Jaka musi być zależność między całkowitymi dodatnimi liczbami \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), aby nie istniało takie naturalne \(\displaystyle{ n}\) że: \(\displaystyle{ a^{n}\equiv1 (mod}\) \(\displaystyle{ b)}\).
Oczywiście \(\displaystyle{ n\ge2}\)
Ciekawy problem z kongruencją
-
- Użytkownik
- Posty: 117
- Rejestracja: 26 gru 2012, o 16:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 10 razy
- ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
Ciekawy problem z kongruencją
Hmh...
\(\displaystyle{ a=2 \\ b=3\\(2,3)=1\\ 2^2\equiv 1 \pmod{3}}\)
Czyli istnieje takie \(\displaystyle{ n}\) mimo, że \(\displaystyle{ (a,b)=1}\)
\(\displaystyle{ a=2 \\ b=3\\(2,3)=1\\ 2^2\equiv 1 \pmod{3}}\)
Czyli istnieje takie \(\displaystyle{ n}\) mimo, że \(\displaystyle{ (a,b)=1}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 117
- Rejestracja: 26 gru 2012, o 16:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 10 razy
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Ciekawy problem z kongruencją
Jeżeli \(\displaystyle{ (a,b)=1}\) to istnieje takie \(\displaystyle{ n}\), wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ n=\phi(b)}\) (twierdzenie Eulera), a jeżeli \(\displaystyle{ (a,b) \neq 1}\), to zakładając nie wprost, że istnieje takie \(\displaystyle{ n}\), bierzemy dowolną liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p \mid (a,b)}\), wówczas \(\displaystyle{ a^n \equiv 1\pmod{b} \Rightarrow a^n \equiv 1\pmod{p} \Rightarrow 0 \equiv 1\pmod{p}}\)
sprzeczność.
sprzeczność.