Udowodnij że równanie ma jeden pierwiastek należący do R

[Varimatras]

Tak jak w temacie. Mam dwa równania:

a) \(\displaystyle{ x^{13}+7x^3-5=0}\)
b)\(\displaystyle{ 3^x+4^x=5^x}\)

Pytanie, jak to zacząć, jakaś metoda, twierdzenie, choć z nazwy?

[piasek101]

Tylko jeden czy jeden (a może i więcej) ?

[edit] 1. Pochodna i jej znak.

[Varimatras]

Dokładnie jeden, faktycznie tak to można zrobił, zaraz spróbuje. Dziękuje.

Edit

\(\displaystyle{ x^{13}+7x^{3}-5=0}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=13x^{12}+21x^2=0}\)

Z tego po wyciągnięciu przed nawias wynika że dla \(\displaystyle{ x=0}\) istnieje ekstremum a dla \(\displaystyle{ x \in (-\infty,0) \cup (0,\infty)}\) funkcja jest rosnąca tak więc istnieje tylko jeden punkt w którym funkcja przecina oś x-ów a więc istnieje tylko jeden pierwiastek rzeczywisty. Poprawne rozumowanie?

[bartek118]

Dokładnie jeden, faktycznie tak to można zrobił, zaraz spróbuje. Dziękuje.

Edit

\(\displaystyle{ x^{13}+7x^{3}-5=0}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=13x^{12}+21x^2=0}\)

Z tego po wyciągnięciu przed nawias wynika że dla \(\displaystyle{ x=0}\) istnieje ekstremum a dla \(\displaystyle{ x \in (-\infty,0) \cup (0,\infty)}\) funkcja jest rosnąca tak więc istnieje tylko jeden punkt w którym funkcja przecina oś x-ów a więc istnieje tylko jeden pierwiastek rzeczywisty. Poprawne rozumowanie?

Akurat tu w \(\displaystyle{ x=0}\) jest punkt przegięcia.

[piasek101]

Z pochodnej - nie zmienia ona znaku - wynika, ze funkcja (wielomian nieparzystego stopnia) jest ściśle rosnąca.

[edit] Jak edytujesz post nie mam tego na podglądzie.

[Varimatras]

Rzeczywiście punkt przegięcie, nie każde miejsce podejrzane o ekstremum musi nim być.

Co do podpunktu b), policzenie pochodnej mało że nie upraszcza to jeszcze komplikuje to równanie, co zrobić z takim fantem?

[piasek101]

Nie pisałem o b.

b) z monotoniczności funkcji wykładniczych bym próbował.

[omicron]

\(\displaystyle{ 3^x+4^x=5^x}\)

Łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ x=2}\) spełnia to równanie. Teraz sprawdźmy, że \(\displaystyle{ 3^x+4^x<5^x}\) dla \(\displaystyle{ x>2}\).

\(\displaystyle{ \left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2=1}\) oraz \(\displaystyle{ \left(\frac{3}{5}\right)^x+\left(\frac{4}{5}\right)^x<1}\) bo suma funkcji malejących jest funkcją malejącą, więc w istocie nierówność jest spełniona. Podobnie \(\displaystyle{ 3^x+4^x>5^x}\) dla \(\displaystyle{ x<2}\), więc \(\displaystyle{ x=2}\) jest jedynym rozwiązaniem w ciele liczb rzeczywistych.