Podzielność kolejnych kwadratów
-
- Użytkownik
- Posty: 117
- Rejestracja: 26 gru 2012, o 16:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 10 razy
Podzielność kolejnych kwadratów
Znajdź wszystkie takie całkowite dodatnie \(\displaystyle{ d}\) że \(\displaystyle{ d| n^{2}+1}\) i \(\displaystyle{ d| (n+1)^{2}+1}\) dla pewnego naturalnego \(\displaystyle{ n}\)
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Podzielność kolejnych kwadratów
Z tego wyjdzie co najwyżej, że \(\displaystyle{ d}\) jest nieparzysta.bakala12 pisze:Skoro \(\displaystyle{ d}\) dzieli te dwie liczby to dzieli też ich sumę i różnice Wyjdzie \(\displaystyle{ d=1}\).
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Podzielność kolejnych kwadratów
Pomysł ok, niech \(\displaystyle{ d \mid n^2+1 \wedge d \mid n^2+2n+2 \Rightarrow d \mid 2n+1}\)
Ale \(\displaystyle{ d \mid n^2+1 \Rightarrow d \mid 4n^2+4 = (2n+1)^2 - 4n+3 \iff d \mid 4n-3}\)
Czyli \(\displaystyle{ d \mid 4n-3 \wedge d \mid 4n+2 \Rightarrow d \mid 4n+2-(4n-3) = 5 \iff d = 1 \vee d=5}\)
Ale \(\displaystyle{ d \mid n^2+1 \Rightarrow d \mid 4n^2+4 = (2n+1)^2 - 4n+3 \iff d \mid 4n-3}\)
Czyli \(\displaystyle{ d \mid 4n-3 \wedge d \mid 4n+2 \Rightarrow d \mid 4n+2-(4n-3) = 5 \iff d = 1 \vee d=5}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1584
- Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Trójmiasto
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 245 razy
Podzielność kolejnych kwadratów
\(\displaystyle{ d \mid \left(n + 1\right)^2 + 1\\
d \mid n^2 + 2n + 2\\
d \mid n^2 + 1 + 2n + 1 \wedge d \mid n^2 + 1 \Rightarrow d \mid 2n+1\\}\)
Więc na pewno nie będzie konkretnie \(\displaystyle{ d = 1}\) bo dla każdego nieparzystego n zachodzi też \(\displaystyle{ d=2}\)
d \mid n^2 + 2n + 2\\
d \mid n^2 + 1 + 2n + 1 \wedge d \mid n^2 + 1 \Rightarrow d \mid 2n+1\\}\)
Więc na pewno nie będzie konkretnie \(\displaystyle{ d = 1}\) bo dla każdego nieparzystego n zachodzi też \(\displaystyle{ d=2}\)