Prostokąt wpisany w odcinek paraboli

andsze1 · Post autor: **andsze1** » 19 lip 2013, o 09:55

Witam. Mam takie zadanie:

W odcinek paraboli \(\displaystyle{ y=2x ^{2}}\), ograniczony prostą \(\displaystyle{ y=2}\) wpisz prostokąt o największym polu.
I zastanawiam się czy mam po prostu policzyć całkę z pola obszaru ? czyli:
\(\displaystyle{ P= \int_{-1}^{1}( 2-2x ^{2})dx}\)

Proszę o jakieś wskazówki

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 19 lip 2013, o 10:37

Nie musisz całkować. Zrób rysunek. Najlepiej weź połówkę prostokąta, w pierwszej ćwiartce, na jedno wyjdzie. Oznacz bok poziomy (jego połówkę) przez \(\displaystyle{ x}\), jaki będzie bok pionowy? Zwykłe zadanie na ekstremum wielomianu trzeciego stopnia. Jedyne co jet tu ciekawe, to określenie czy wykazanie, że znalezione ekstremum lokalne jest już absolutne. Oczywiście po uwzględnieniu dziedziny czyli naturalnych ograniczeń związanych z konstrukcją (w jakim przedziale leży \(\displaystyle{ x}\)?).

andsze1 · Post autor: **andsze1** » 19 lip 2013, o 10:45

\(\displaystyle{ x}\) w przedziale od \(\displaystyle{ -1}\) do \(\displaystyle{ 1}\)

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 19 lip 2013, o 10:52

Zależy co przyjmiesz za \(\displaystyle{ x}\). Wedle mojej propozycji na pewno \(\displaystyle{ x>0}\). Dalej bez rysunku nie potrafię, a nie będę go robił Proponuję, rozwiąż w całości zadanie i przedstaw wyniki.

PiotrowskiW · Post autor: **PiotrowskiW** » 21 lip 2013, o 09:35

Potraktowałbym to zadanie jako zadanie z teorii optymalizacji.(o ile dobrze rozumiem treść)
Należy sprawdzić czy wszystkie funkcje w tym zadaniu są wypukłe.
Jeśli tak jest, to możemy zastosować warunki Kuhna-Tuckera.
Zadanie będzie miało postać:
\(\displaystyle{ \max\ x\cdot y}\)
przy ograniczeniach
\(\displaystyle{ y \le 2}\)
\(\displaystyle{ y \ge 2x^{2}}\)
\(\displaystyle{ x,y \ge 0}\)

(nie jest to klasyczny zapis takiego zadania)
P.S takie zadanie podchodzi pod "rachunek różniczkowy"

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 21 lip 2013, o 10:24

Ojojojojoj... strzelamy do much z armaty. A wystarczy zmaksymalizować funkcję \(\displaystyle{ P(x)=x(2-2x^2)}\) w przedziale \(\displaystyle{ \left[0,1\right]}\). Przypomnę, że \(\displaystyle{ x}\) oznacza tu połowę boku "poziomego". Maksimum (i to absolutne) jest dla \(\displaystyle{ x=\frac{\sqrt{3}}{3}}\). Tak więc wymiary prostokąta: bok poziomy to \(\displaystyle{ 2x=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\), a bok pionowy \(\displaystyle{ 2-2x^2=\frac{4}{3}}\).

Takie zadania kiedyś robiło się w trzeciej klasie LO. Ale to kupę lat temu, więcej niż większość użytkowników Forum na świecie żyje

PiotrowskiW · Post autor: **PiotrowskiW** » 21 lip 2013, o 11:13

A wystarczy zmaksymalizować funkcję P(x)=x(2-2x^2) w przedziale left[0,1
ight]

Ja nie wiem czy wystarczy. Z czego to wynika? Rozumiem ideę tego ale skąd wiadomo że ten prostokąt nie leży całkowicie wewnątrz zbioru ograniczonego przez te nierówności?

Post autor: **yorgin** » 21 lip 2013, o 20:47

PiotrowskiW pisze: Ja nie wiem czy wystarczy. Z czego to wynika? Rozumiem ideę tego ale skąd wiadomo że ten prostokąt nie leży całkowicie wewnątrz zbioru ograniczonego przez te nierówności?

Masz to w treści zadania. Wpisujesz prostokąt w odcinek paraboli.

szw1710 pisze: Takie zadania kiedyś robiło się w trzeciej klasie LO. Ale to kupę lat temu, więcej niż większość użytkowników Forum na świecie żyje

Ja miałem takie zadania