Będę wdzięczny za pomoc z takim zadaniem:
Zbadaj jednostajną zbieżność szeregu funkcyjnego:
\(\displaystyle{ \sum_{n-1}^{ \infty } \left( \frac{x}{4+x ^{2}n ^{4}} \right)}\)
Zbieżność szeregu
-
szw1710
Zbieżność szeregu
Dawałem już wskazówkę w innym poście. Wyznacz maksimum funkcji \(\displaystyle{ f_n(x)=\frac{x}{4+n^4x^2}}\) i zastosuj kryterium Weierstrassa.
-
Fanik
- Użytkownik
- Posty: 215
- Rejestracja: 18 gru 2006, o 16:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 23 razy
Zbieżność szeregu
\(\displaystyle{ \begin{array}{l}
f_n (x) = \frac{x}{{4 + n^4 x^2 }} = \frac{{\frac{x}{{n^4 }}}}{{\frac{4}{{n^4 }} + x^2 }}\mathop \to \limits^{n \to \infty } f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{0}{{0 + x^2 }} = \frac{0}{{x^2 }}{\mbox{ = 0 dla }}x \ne 0 \\
\frac{0}{{4 + 0}} = 0{\mbox{ dla }}x = 0 \\
\end{array} \right. \\
D_{f_n } = \mathbb{R} \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f_n (x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{x}{{4 + n^4 x^2 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{{\frac{4}{x} + n^4 x}} = \left[ {\frac{1}{{0 + \infty }}} \right] = 0 \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f_n (x) = \left[ {\frac{1}{{0 - \infty }}} \right] = 0 \\
\frac{{df_n }}{{dx}} = \frac{{4 + n^4 x^2 - x(2n^4 x)}}{{\left( {4 + n^4 x^2 } \right)^2 }} = \frac{{4 - n^4 x^2 }}{{\left( {4 + n^4 x^2 } \right)^2 }} \\
\frac{{df_n }}{{dx}} = 0 \Leftrightarrow 4 - n^4 x^2 = 0 \Leftrightarrow 4 = n^4 x^2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {\frac{4}{{n^4 }}} = \pm \frac{2}{{n^2 }} \\
{\mbox{Ekstrema funkcji }}f_n (x){\mbox{ w punktach }}x_1 = \frac{2}{{n^2 }},x_2 = - \frac{2}{{n^2 }} \\
{\mbox{Badamy }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sup \left| {f_n (x) - f(x)} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sup \left| {f_n (x) - 0} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sup \left| {f_n (x)} \right| \\
f_n (x_1 ) = \frac{{\frac{2}{{n^2 }}}}{{4 + n^4 \left( {\frac{2}{{n^2 }}} \right)^2 }} = \frac{{\frac{2}{{n^2 }}}}{{4 + 4}} = \frac{1}{{4n^2 }}\mathop \to \limits^{n \to \infty } 0 \\
f_n (x_2 ) = \frac{{ - \frac{2}{{n^2 }}}}{{4 + n^4 \left( { - \frac{2}{{n^2 }}} \right)^2 }} = \frac{{ - \frac{2}{{n^2 }}}}{{4 + 4}} = - \frac{1}{{4n^2 }}\mathop \to \limits^{n \to \infty } 0 \\
{\mbox{Zatem }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sup \left| {f_n (x)} \right| = 0{\mbox{ czyli zbieznosc jest jednostajna}}{\mbox{.}} \\
\end{array}}\)-- 16 lipca 2013, 22:42 --Ops, to jest rozwiązanie dla sytuacji gdy badamy po prostu zbieżnąść ciągu fn, zamiast szeregu.
f_n (x) = \frac{x}{{4 + n^4 x^2 }} = \frac{{\frac{x}{{n^4 }}}}{{\frac{4}{{n^4 }} + x^2 }}\mathop \to \limits^{n \to \infty } f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{0}{{0 + x^2 }} = \frac{0}{{x^2 }}{\mbox{ = 0 dla }}x \ne 0 \\
\frac{0}{{4 + 0}} = 0{\mbox{ dla }}x = 0 \\
\end{array} \right. \\
D_{f_n } = \mathbb{R} \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f_n (x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{x}{{4 + n^4 x^2 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{{\frac{4}{x} + n^4 x}} = \left[ {\frac{1}{{0 + \infty }}} \right] = 0 \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f_n (x) = \left[ {\frac{1}{{0 - \infty }}} \right] = 0 \\
\frac{{df_n }}{{dx}} = \frac{{4 + n^4 x^2 - x(2n^4 x)}}{{\left( {4 + n^4 x^2 } \right)^2 }} = \frac{{4 - n^4 x^2 }}{{\left( {4 + n^4 x^2 } \right)^2 }} \\
\frac{{df_n }}{{dx}} = 0 \Leftrightarrow 4 - n^4 x^2 = 0 \Leftrightarrow 4 = n^4 x^2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {\frac{4}{{n^4 }}} = \pm \frac{2}{{n^2 }} \\
{\mbox{Ekstrema funkcji }}f_n (x){\mbox{ w punktach }}x_1 = \frac{2}{{n^2 }},x_2 = - \frac{2}{{n^2 }} \\
{\mbox{Badamy }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sup \left| {f_n (x) - f(x)} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sup \left| {f_n (x) - 0} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sup \left| {f_n (x)} \right| \\
f_n (x_1 ) = \frac{{\frac{2}{{n^2 }}}}{{4 + n^4 \left( {\frac{2}{{n^2 }}} \right)^2 }} = \frac{{\frac{2}{{n^2 }}}}{{4 + 4}} = \frac{1}{{4n^2 }}\mathop \to \limits^{n \to \infty } 0 \\
f_n (x_2 ) = \frac{{ - \frac{2}{{n^2 }}}}{{4 + n^4 \left( { - \frac{2}{{n^2 }}} \right)^2 }} = \frac{{ - \frac{2}{{n^2 }}}}{{4 + 4}} = - \frac{1}{{4n^2 }}\mathop \to \limits^{n \to \infty } 0 \\
{\mbox{Zatem }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sup \left| {f_n (x)} \right| = 0{\mbox{ czyli zbieznosc jest jednostajna}}{\mbox{.}} \\
\end{array}}\)-- 16 lipca 2013, 22:42 --Ops, to jest rozwiązanie dla sytuacji gdy badamy po prostu zbieżnąść ciągu fn, zamiast szeregu.