Dowód granicy niewłaściwej - sprawdzenie mojego rozwiązania

[wer0nisia]

Czy poniższe rozwiązanie jest poprawne?

Korzystając z definicji granicy niewłaściwej ciągu uzasadnić równość: \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \log _{2}(n+3)= \infty}\)

DEFINICJA
Ciąg ma granicę niewłaściwą \(\displaystyle{ \infty}\) jeśli dla każdej liczby \(\displaystyle{ M \in R}\), istnieje taki numer wyrazu \(\displaystyle{ k \in N}\), że wszystkie wyrazy ciągu o indeksach większych od \(\displaystyle{ k}\) są większe od \(\displaystyle{ M}\).

DOWÓD NIE WPROST
Załóżmy, że tak nie jest, czyli istnieje taka liczba \(\displaystyle{ M}\), że wszystkie wyrazy ciągu są od niej mniejsze.

Sprawdzam dla jakiego \(\displaystyle{ n}\) wyraz ciągu jest równy \(\displaystyle{ M}\).
\(\displaystyle{ \log _2{n+3}=M \\
2^{M}=n+3 \\
n=2^{M}-3}\)
dzięki temu wyznaczam wyraz ciągu większy o \(\displaystyle{ 1}\) od \(\displaystyle{ M}\):
\(\displaystyle{ a_{2^{M+1}-3}=\log _{2}(2^{M+1}-3+3)=\log _{2}(2^{M+1})=M+1}\)

Znalazłam taki wyraz ciągu, który jest większy od \(\displaystyle{ M}\). Więc założenie jest sprzeczne.




Mam małą wątpliwość, czy to robię dobrze??
Bo w definicji jest dowolne \(\displaystyle{ M}\) rzeczywiste.
Natomiast wyznaczając wyraz ciągu, którym zaprzeczam założenie muszę mieć \(\displaystyle{ n}\) naturalne. A jeśli wezmę \(\displaystyle{ M}\) z częścią ułamkową to nie wyjdzie mi \(\displaystyle{ n}\) naturalne.

[robertm19]

Skąd wniosek że wszystkie wyrazy są mniejsze od M? Ostatni kwantyfikator w zdaniu zaprzeczonym to
\(\displaystyle{ \exists n\ge k}\)

[wer0nisia]

Skąd wniosek że wszystkie wyrazy są mniejsze od M? Ostatni kwantyfikator w zdaniu zaprzeczonym to
\(\displaystyle{ \exists n\ge k}\)

Definicja mówi, że dla każdej liczby M jaką weźmiemy, istnieje taki wyraz ciągu że wszystkie kolejne wyrazy są większe od M.
To ja to zrozumiałam, że zaprzeczeniem będzie:
że jest takie M, dla którego nie ma takiego wyrazu ciągu że wszystkie kolejne wyrazy są większe od M. Czyli że żaden wyraz nie jest większy od M.

Czy ja to źle rozumiem?

[robertm19]

Raczej tak to będzie:
istnieje \(\displaystyle{ M>0}\), gdzie dla każdego \(\displaystyle{ k}\) naturalnego istnieje \(\displaystyle{ n\ge k}\), że zachodzi \(\displaystyle{ a_{n}\le M}\).

W tym zadaniu lepiej jest pokazać to w prost. Wziąć dowolne \(\displaystyle{ \M>0}\) i znaleźć takie \(\displaystyle{ k}\) które spełnia \(\displaystyle{ a_{n}>M}\).

[wer0nisia]

czyli to będzie tak?

sprawdzam dla jakich n, \(\displaystyle{ a_{n} > M}\)

\(\displaystyle{ \log _2{n+3}>M \\
\log_2{n+3}>\log_2{(2^{M})} \\
n+3>2^{M}\\
n>2^M - 3}\)

dla takich n wyrazy ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\) są większe od M.
Czyli \(\displaystyle{ k=2^{M}-4}\)

[robertm19]

Tak, udało się znaleźć takie k -- 16 lipca 2013, 13:45 --Jescze zauważ ze dla m nie naturalnych K nie wychodzi naturalne, jeszcze trzeba to zmodyfikować.

[wer0nisia]

Czy wystarczy, że zaznaczę że to zachodzi dla M naturalnych?
Ale wtedy to będzie sprzeczne z definicją, bo w definicji są rzeczywiste M

[robertm19]

Nie, ostatnim krokiem jest znalezienie najmniejszej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k}\) takiej, że \(\displaystyle{ 2^M-3<k}\).
Tą liczbą jest funkcja sufit z \(\displaystyle{ 2^M-3}\) dla \(\displaystyle{ M\ge 2}\) ( nie wiem jak to w Latexu napisać )
Dla \(\displaystyle{ M<2}\), \(\displaystyle{ k=1}\) spełnia definicję.

[Dasio11]

Proszę:

\(\displaystyle{ \left\lceil 2^M - 3 \right\rceil}\)

leftlceil 2^M - 3
ight
ceil

W naszej instrukcji jest to tu: www.matematyka.pl/latex.htm#2_9