Zbieżność szeregu trygonometrycznego

[MakCis]

Czy szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \tg \left( \frac{1}{n^p} \right)}\) jest zbieżny dla:

a) \(\displaystyle{ p = 100}\)
b) \(\displaystyle{ p=1}\)
c) \(\displaystyle{ p=2}\)
d) \(\displaystyle{ p= \frac{1}{2}}\)

Łatwo pokazać, że

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \tg \left( \frac{1}{n^p} \right) < \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^p \cos \left( \frac{1}{n^p} \right) }}\).

Zaryzykowałbym więc, że odpowiedź twierdząca jest dla a) i c), ale jak to pokazać nieco bardziej formalnie korzystając np. z jakiegoś kryterium?

[miodzio1988]

kryterium ilorazowe

[MakCis]

Nigdy to kryterium mi się nie przydało. Czy mogę zatem przyjąć

\(\displaystyle{ a_n = \frac{1}{n^p \cos \left( \frac{1}{n^p} \right) } \\ b_n = \frac{1}{n^p}}\)

Granica ilorazu dąży do jedności, zatem chyba jest ok?

[miodzio1988]

bez tego szacowania możesz skorzystać z tego kryterium

[robertm19]

Kryterium o zagęszczaniu a potem Couchy'ego też zadziała.

[MakCis]

W jaki sposób? Przyjmując \(\displaystyle{ a_n = \tg \left( \frac{1}{n^p} \right)}\) mamy \(\displaystyle{ a_{2^n} = \tg \left( \frac{1}{2^{np}} \right)}\) i to potraktować kryterium Cauchyego? To ja tego nie widzę...

[robertm19]

Jeszcze \(\displaystyle{ 2^{n}}\) przed tangensem Ci brakuje. Warto zauważyć, że \(\displaystyle{ sin(x) \approx x}\) dla małych x.

[yorgin]

Najprościej skorzystać z tego, że

\(\displaystyle{ \tan x \approx x}\)

dla małych \(\displaystyle{ x}\), a więc z asymptotyki względem

\(\displaystyle{ \sum \frac{1}{n^p}}\)

[Fanik]

Nigdy to kryterium mi się nie przydało.

To ciekawe rzeczy opowiadasz, bo wg. mnie to jedno z najlepszych kryteriów, dzięki któremu można większość szeregów badać nawet w pamięci. Do tego znająć asymptotyki w rodzaju \(\displaystyle{ \sin x, \tan x \sim x}\) dla małych \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ \ln(1+x) \sim x.}\)