ulka5112 pisze:Trzeba zbadać ciągłość tej sumy. Czyli zrobić to tak jak się liczy ciągłość funkcji.
Przepraszam za nachalność, ale mam ostatnie pytanie , a nie mam kogo się zapytać.
Żaden problem.
ulka5112 pisze:
Bo mam taki szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \left| x\right| ^{n ^{2} } .}\)Ten szereg jest zbieżny punktowo na \(\displaystyle{ \left( -1,1\right)}\)Jako dowód ciągłości sumy podana jest taka nierówność \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \left| x\right| ^{n ^{2} } \le \sum_{n=0}^{ \infty } \left| x\right| ^{n}= \frac{1}{1-\left| x\right| }}\)
Czy takie szacowanie starcza? Bo trochę tego nie rozumiem. Dotąd robiłam zadania, gdzie wystarczyło pokazać jednostajną zbieżność, a jednostajnie zbieżny ciąg funkcji ciągłych zbiega do funkcji ciągłej. Trochę nie ogarniam sprawy, gdy tej jednostajnej zbieżności nie ma.
Takie szacowanie wystarcza do określenia zbieżności punktowej, gdyż szacujemy szereg przez inny zbieżny punktowo. Natomiast takie szacowanie jest niewystarczające do określenia zbieżności jednostajnej. Jako przykład wystarczy zauważyć, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-x^2}=\sum x^{2n} \leq \sum |x|^n =\frac{1}{1-|x|}}\)
Po obu stronach jest brak zbieżności jednostajnej, oraz oba szeregi mają ciągłą sumę.
Ciągłość można argumentować zbieżnością niemal jednostajną na każdym zwartym przedziale zawartym w
\(\displaystyle{ (-1,1)}\). Ja bym tak zrobił, gdyż nie znam odpowiedniego aparatu dla wymienionych przez Ciebie szacowań. Wiem tylko, że suma szeregu potęgowego jest ciągła w zbiorze
\(\displaystyle{ (-R,R)}\) gdzie
\(\displaystyle{ R}\) jest promieniem zbieżności.-- 15 lipca 2013, 17:44 --
ulka5112 pisze: \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \left| x\right| ^{n ^{2} } .}\)
Zaćmienie miałem - to jest przecież szereg potęgowy, więc ma ciągłą sumę. Powołuję się na wymienione wyżej twierdzenie, które można znaleźć
