Oblicz długość taśmy nawiniętej na rolkę

[PI3-14]

Witam.
Ten temat był już nie raz poruszany na forum ale nie znalazłem satysfakcjonującej mnie odpowiedzi więc zakładam nowy temat.

Chodzi o obliczenie długości taśmy nawiniętej na rolkę oczywiście bez rozwijania.
Taśma to jest spirala archimedesa o równaniu \(\displaystyle{ r=a\cdot\phi}\). Teraz moje pytanie gdyby wziąć punkt odpowiadający początkowi tej sprali i sparametryzować go (przekształcić do współrzędnych kartezjańskich) i to samo zrobić z "ostatnim" punktem spirali, a następnie policzyć długość używając wzoru \(\displaystyle{ \int\limits_{a}^{b}\sqrt{(dx(t))^2+(dy(t))^2}}\).
Wiem, że wyjdą paskudne całki z funkcjami trygonometrycznymi ale wszystko jest do policzenia
Chodzi mi o to czy mój pomysł jest poprawny.

Pozdrawiam

[yorgin]

Pomysł jest dobry, przy czym wtedy należy mieć spiralę daną w postaci parametrycznej \(\displaystyle{ (x(t),y(y))}\).

Łatwiejsza metoda:    

Wygodniejsze wydaje się skorzystanie ze wzoru na długość krzywej we współrzędnych biegunowych, tzn.

\(\displaystyle{ L = \int_a^b \sqrt{ \left[r(\varphi)\right]^2 + \left[ {{dr(\varphi) } \over { d\varphi }} \right] ^2 } d\varphi}\)

[mdd]

Jak już wyprowadzisz dokładny wzór na długość spirali o równaniu \(\displaystyle{ r=a\phi}\), to można zauważyć (np. eksperymentując numerycznie), że bardzo dobre przybliżenie długości spirali Archimedesa w pewnym przedziale od \(\displaystyle{ \phi_a}\) do \(\displaystyle{ \phi_b}\) daje wzór następujący:

\(\displaystyle{ L \approx \pi d\left( n_b^2-n_a^2\right)= \pi d\left( \left( \frac{\phi_b}{2 \pi }\right) ^2-\left( \frac{\phi_a}{2 \pi }\right)^2\right)}\)

gdzie:
\(\displaystyle{ d}\) - grubość taśmy
\(\displaystyle{ n_a, \ n_b}\) - kąt wyrażony w "obrotach"

[PI3-14]

Wiem, że trzeba mieć daną spiralę w postaci parametrycznej, zastanawiam się czy z danych które posiadam da się takie równanie wyprowadzić tzn. posiadam promień rolki, promień rolki wraz z nawiniętą taśmą oraz oczywiście grubość taśmy.
Jeśli chodzi o długość we współrzędnych biegunowych to problem polega na wyznaczeniu parametru \(\displaystyle{ a}\) w równaniu spirali (nie mam pomysłu jak to zrobić).
mmd Ciekawe rozumiem że za \(\displaystyle{ n_a}\) i \(\displaystyle{ n_a}\) można przyjąć liczbę warstw czy dobrzę myślę?

[mdd]

(...) rozumiem że za \(\displaystyle{ n_a}\) i \(\displaystyle{ n_a}\) można przyjąć liczbę warstw czy dobrzę myślę?

Dokładnie, tylko, że te warstwy trzeba liczyć od środka rolki, tzn.:

\(\displaystyle{ n_a=\frac{R_a}{d} \qquad n_b=\frac{R_b}{d}}\)

Sam zobacz jak dokładnie można oszacować długość spirali Archimedesa korzystając ze wzoru: \(\displaystyle{ L= \pi dn^2}\) gdzie: \(\displaystyle{ n=\frac{\phi}{2\pi}}\); wrzuć kod Octave:

Kod: Zaznacz cały

fi=0:0.2:100;
a=1;
w=sqrt(1+fi.*fi);
L=0.5*a*(fi.*w+log(fi+w));
n=fi/2/pi;
d=a*2*pi;
Lp=pi*d*n.*n;
plot(n,100*(L-Lp)./L);
grid;

do okienka Octave online: i kliknij przycisk Compute a otrzymasz wykres błędu względnego w \(\displaystyle{ \%}\).

Dla \(\displaystyle{ \phi=5 \ \text{obr}}\) błąd względny niedoszacowania wynosi już tylko!!! ok. \(\displaystyle{ 0,468 \%}\) Jak widać szacując długość fragmentu spirali Archimedesa, położonego kilka zwojów dalej od "środka" spirali wg. prostego wzoru\(\displaystyle{ L \approx \pi dn^2}\) popełniamy bardzo mały błąd, w praktyce chyba nieistotny.

Jeśli chodzi o długość we współrzędnych biegunowych to problem polega na wyznaczeniu parametru \(\displaystyle{ a}\) w równaniu spirali (nie mam pomysłu jak to zrobić).

W prosty sposób: \(\displaystyle{ a \approx \frac{d}{2 \pi } \qquad}\) gdzie: \(\displaystyle{ d}\)-grubość taśmy.

[Fanik]

Przecież taśma ma skończoną grubość, więc po co wzory z całkami? Każdy kolejny zwój ma promień o grubość taśmy większy od poprzedniego, Wykorzystaj wzór na sumę szeregu arytmetycznego i dostaniesz długość.

[mdd]

Przecież taśma ma skończoną grubość, więc po co wzory z całkami?

Zawsze można sobie kombinować w ten sposób, że poszukujemy długości odcinka spirali "aproksymującej" jeden z brzegów taśmy, albo spirali poprowadzonej mniej więcej "w środku" taśmy. Stąd taki pomysł.

Każdy kolejny zwój ma promień o grubość taśmy większy od poprzedniego, Wykorzystaj wzór na sumę szeregu arytmetycznego i dostaniesz długość.

No i ok. Zróbmy tak. Załóżmy, że taśma ma grubość \(\displaystyle{ d}\). Zatem długość taśmy liczymy jako sumę długości \(\displaystyle{ n}\) okręgów:
\(\displaystyle{ L \approx 2 \pi \frac{d}{2} + 2 \pi \left( \frac{d}{2}+d\right) + 2 \pi \left( \frac{d}{2}+2d\right) +... + 2 \pi \left( \frac{d}{2}+\left( n-1\right) d\right)=\\
=2 \pi \frac{d}{2} \cdot n \ + \ 2 \pi d\left( 1+2+ \ ... \ +\left( n-1\right) \right)=\\
= \pi dn+2 \pi d\frac{n\left( n-1\right) }{2}= \pi dn^2}\)

Wszystkie drogi prowadzą do Rzymu podobno