[Teoria liczb] Dziura w liczbach pierwszych.

[ElEski]

Czy to prawda, że istnieje dowolnie duża różnica pomiędzy jakimiś kolejnymi liczbami pierwszymi?
( mi jest potrzebne coś koło \(\displaystyle{ 1000}\) ). Oczywiście dowolnie duża, to znaczy, że jak ustalimy jakieś \(\displaystyle{ k}\)naturalne, to znajdziemy dwie kolejne liczby pierwsze \(\displaystyle{ q,p}\), że \(\displaystyle{ p-q \ge k}\).

[Vax]

Ukryta treść:    

Wystarczy zauważyć, że układ kongruencji:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv -1 \pmod{p_1} \\ x \equiv -2 \pmod{p_2} \\ x \equiv -3\pmod{p_3} \\ ... \\ x \equiv -k\pmod{p_k} \end{cases}}\)

Ma na mocy Chińskiego Twierdzenia o resztach zawsze rozwiązanie, liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, więc istotnie dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) istnieje takie x, że żadna z liczb \(\displaystyle{ x+1 , x+2 , ... , x+k}\) nie będzie liczbą pierwszą

[mol_ksiazkowy]

Quote:

Czy to prawda, że istnieje dowolnie duża różnica pomiędzy jakimiś kolejnymi liczbami pierwszymi?

W ciagu \(\displaystyle{ n!+2, n!+3,...., n! +n}\) wszystkie elementy sa złozone

[ElEski]

Vax,
ale nie wiesz, czy x i x+k+1 to liczby pierwsze.
mol_ksiazkowy,
podobnie, jak Vax.. Chyba, że ja się mylę.


-----------------------------
Tak, musimy znaleźć dowolnie długi ciąg \(\displaystyle{ a+1, a+2,...,a+k}\), taki że każdy jego wyraz jest złożony, ale musi też być spełnione należenie liczb \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ a+k+1}\) do zbioru liczb pierwszych.

[adri]

to znajdziemy dwie kolejne liczby pierwsze \(\displaystyle{ q,p}\), że \(\displaystyle{ p-q \ge k}\).

To się robi już inne zadanie jak chcesz tam jednak znak równości postawić

[ElEski]

adri,
????

Może nie rozumiem, co ja napisałem w tym zadaniu
Mol napisał, że żadna z liczb \(\displaystyle{ n!+2, n!+3,...,n!+n}\) nie jest pierwsza.. jasne, tylko co z liczbami \(\displaystyle{ n!+1}\) i \(\displaystyle{ n!+n+1}\)? Ona mają być pierwsze, a nie są raczej.

[adri]

Ja to zrozumiałam, że chcesz aby przerwa ta miała co najmniej k liczb.
Ale dla k parzystego to już odpada jak chcesz aby było dokładnie k liczb.

[ElEski]

adri,
Ok, już rozumiem, nie wiem czemu takiego blefa w tym robiłem. Przepraszam.

@down OK, na serio trochę mi głupio, bo na to wcześniej nie wpadłem i już zupełnie idiotycznie, że widząc rozwiązanie nie zauważyłem, że jest poprawne ;D

A tak ogólnie, to to było mi potrzebne do zadania takiego:

\(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}}\) to liczby pierwsze
\(\displaystyle{ a_{n+2}}\) to największy dzielnik pierwszy a\(\displaystyle{ _{n+1}+a_{n}+2000}\). Udowodnić, że ciąg \(\displaystyle{ {a_{n}}}\) jest ograniczony. Z tym faktem jest bardzo proste.

[adri]

Ale i tak gdzieś na te liczby pierwsze trafisz, więc pomiędzy kolejnymi liczbami pierwszymi będzie ta przerwa nawet większa niż to k
masz ciąg k kolejnych liczb złożonych, z pewnością istnieje jakaś liczba pierwsza mniejsza od najmniejszego wyrazu i większa od największego, dodatkowo są to kolejne liczby pierwsze

[Swistak]

Hehe, też pomyślałem o tym zadaniu, jak przeczytałem temat xD. Nawet z jakieś pół roku temu wrzuciłem temat na to forum, aby starać się znaleźć jak najlepsze możliwe ograniczenie . Bo z tego sposobu rozumowania wychodzi dość słabe. Ja jak zauważyłem, że w każdym przedziale długości \(\displaystyle{ 2000}\) ma być liczba pierwsza, to pomyślałem o asymptotyce liczb pierwszych, czyli, że \(\displaystyle{ \frac{n}{\pi(n)ln(n)} \to 1}\) dla dużych \(\displaystyle{ n}\), co jest w oczywistej sprzeczności z tym, że będzie ich co najmniej 1 na 2000 . Ale z tego, to już w ogóle żadnego ograniczenia się nie da podać . Można do tego podejść korzystając z tego, że jeżeli \(\displaystyle{ p_1, p_2, ..., p_k}\) to wszystkie liczby pierwsze mniejsze równe \(\displaystyle{ n}\), to \(\displaystyle{ p_1p_2...p_k<4^n}\). Z tego już całkiem spoko ograniczenie wychodziło w porównaniu z tamtą silnią.

[Ponewor]

Jak pokazać ostatni fakt? Ten z \(\displaystyle{ 4^{n}}\).

[everglade]

Jak pokazać ostatni fakt? Ten z \(\displaystyle{ 4^{n}}\).

Przez indukcję.
298227.htm