funkcja s(x), szeregi - ciągi

[entelechek]

Witam.
1. Czy i do jakiej funkcji \(\displaystyle{ s(x)}\) zbieżne są ciągi:

a)\(\displaystyle{ \frac{nx}{1+nx^{2}}}\)

b)\(\displaystyle{ \frac{nx}{1+n^{2}x^{2}}}\)

Funkcja \(\displaystyle{ s(x)}\) jest zazwyczaj traktowana jako suma pewnego szeregu funkcyjnego, w związku z tym czy i w tym przypadku mogę ciągom tym przypisać szeregi im odpowiadające i wówczas określić funkcję \(\displaystyle{ s(x)}\)?
Z podanych w moim zbiorze odpowiedzi wynika, że dla ciągów \(\displaystyle{ s(x)}\) jest czymś innym niż dla szeregów, tymczasem \(\displaystyle{ s(x)}\) jest zazwyczaj wiązane z szeregami...
Bardzo proszę o wyklarowanie tej kwestii.

[bartek118]

Ciąg to coś innego niż szereg. W tym przypadku \(\displaystyle{ s(x)}\) nie jest sumą szeregu, tylko granicą ciągu.

[entelechek]

Ciąg to coś innego niż szereg. W tym przypadku \(\displaystyle{ s(x)}\) nie jest sumą szeregu, tylko granicą ciągu.

Świetnie się zorganizowaliśmy w czasie. Dziękuję za wyklarowanie tej kwestii. Po prostu wydawało mi się to dosyć dziwne, jako że moje źródła mnie o tym nie poinformowały(oczywiście o wielu znaczeniach s(x), nie o tym, że ciąg i szereg to nie to samo )-- 7 lip 2013, o 22:21 --Takie dodatkowe pytanie:
Czy mogę s(x) obliczyć dla (1) w ten sposób(pytam się, bo wydaje się jakiś... dziwny)?:
\(\displaystyle{ \frac{nx}{1+nx^{2}}= \left (\frac{1+nx^{2}}{nx} \right ) ^{-1}= \left (\frac{1}{nx}+x \right )^{-1}=\frac{1}{x}}\) dla \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\)
Zatem \(\displaystyle{ s(x)=\frac{1}{x}}\).
Naturalnie dla \(\displaystyle{ x \neq 0}\).

[Dasio11]

Poprawnie. Trzeba jeszcze osobno wyliczyć \(\displaystyle{ s(0).}\)

[Fanik]

\(\displaystyle{ \begin{array}{l}
1)\frac{{nx}}{{1 + nx^2 }} = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{x}{{\frac{1}{n} + x^2 }}\mathop \to \limits^{n \to \infty } \frac{x}{{0 + x^2 }} = \frac{1}{x}{\mbox{ }}\gray{{{\mbox{dla }}x \ne 0}} \\
\frac{0}{{1 + 0}} = 0{\mbox{ }}\gray{{{\mbox{dla }}x = 0}} \\
\end{array} \right. \\
2)\frac{{nx}}{{1 + n^2 x^2 }} = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\frac{x}{n}}}{{\frac{1}{{n^2 }} + x^2 }}\mathop \to \limits^{n \to \infty } \frac{0}{{0 + x^2 }} = 0{\mbox{ }}\gray{{{\mbox{dla }}x \ne 0}} \\
\frac{0}{{1 + 0}} = 0{\mbox{ }}\gray{{{\mbox{dla }}x = 0}} \\
\end{array} \right. \\
\end{array}}\)