Znaleźć wszystkie liczby całkowite x takie, że.
-
- Użytkownik
- Posty: 147
- Rejestracja: 10 lut 2010, o 20:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowe
- Podziękował: 17 razy
Znaleźć wszystkie liczby całkowite x takie, że.
Witajcie mam takie zadania do którego nie wiem jak się zabrać. Możecie mi to wyjaśnić krok po kroku? Szukałem w google na temat układów kongruencji ale nic nie zrozumiałem.
Znaleźć wszystkie liczby całkowite x takie, że:
\(\displaystyle{ x\equiv 5 \pmod{7}}\)
\(\displaystyle{ 6x\equiv 3 \pmod{9}}\)
\(\displaystyle{ 4x\equiv 7 \pmod{11}}\)
Znaleźć wszystkie liczby całkowite x takie, że:
\(\displaystyle{ x\equiv 5 \pmod{7}}\)
\(\displaystyle{ 6x\equiv 3 \pmod{9}}\)
\(\displaystyle{ 4x\equiv 7 \pmod{11}}\)
Ostatnio zmieniony 9 lip 2013, o 19:41 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Znaleźć wszystkie liczby całkowite x takie, że.
\(\displaystyle{ \ZZ_7}\) i \(\displaystyle{ \ZZ_{11}}\) są ciałami. Można sobie dzielić. Mamy \(\displaystyle{ 4^{-1}=3\pmod{11}}\). Więc mamy trzecie równanie w postaci \(\displaystyle{ x\equiv 7\cdot 3=10\pmod{11}}\). Z drugiej kongruencji tak łatwo \(\displaystyle{ x}\) nie wyznaczymy. Ale wyliczymy sobie teraz \(\displaystyle{ 6x}\). Więc
\(\displaystyle{ 6x\equiv 2\pmod{7},\quad 6x\equiv 3\pmod{9},\quad 6x\equiv 5\pmod{11}}\)
Może teraz łatwiejsze będzie wyznaczenie \(\displaystyle{ 6x}\).
\(\displaystyle{ 6x\equiv 2\pmod{7},\quad 6x\equiv 3\pmod{9},\quad 6x\equiv 5\pmod{11}}\)
Może teraz łatwiejsze będzie wyznaczenie \(\displaystyle{ 6x}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Znaleźć wszystkie liczby całkowite x takie, że.
Drugie równanie prościej podzielić stronami przez trzy:
\(\displaystyle{ 2x\equiv 1 \pmod{3}}\)
i pomnożyć przez dwa:
\(\displaystyle{ x\equiv 2 \pmod{3}}\)
Q.
\(\displaystyle{ 2x\equiv 1 \pmod{3}}\)
i pomnożyć przez dwa:
\(\displaystyle{ x\equiv 2 \pmod{3}}\)
Q.
- Vether
- Użytkownik
- Posty: 408
- Rejestracja: 22 kwie 2013, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 114 razy
Znaleźć wszystkie liczby całkowite x takie, że.
A trzecie pomnożyć przez \(\displaystyle{ 3}\):
\(\displaystyle{ 4x \equiv 7 \pmod {11}}\)
\(\displaystyle{ 12x \equiv 21 \pmod {11}}\)
\(\displaystyle{ x \equiv 10 \pmod {11}}\)
\(\displaystyle{ 4x \equiv 7 \pmod {11}}\)
\(\displaystyle{ 12x \equiv 21 \pmod {11}}\)
\(\displaystyle{ x \equiv 10 \pmod {11}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Znaleźć wszystkie liczby całkowite x takie, że.
No to akurat szw1710 już napisał (choć innymi słowami).Vether pisze:A trzecie pomnożyć przez \(\displaystyle{ 3}\)
Q.
- Vether
- Użytkownik
- Posty: 408
- Rejestracja: 22 kwie 2013, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 114 razy
Znaleźć wszystkie liczby całkowite x takie, że.
Zauważyłem coś w tym stylu... ale nie rozumiem, skąd to się wzięło xD Więc napisałem trochę prościej
-
- Użytkownik
- Posty: 147
- Rejestracja: 10 lut 2010, o 20:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowe
- Podziękował: 17 razy
Znaleźć wszystkie liczby całkowite x takie, że.
Ok. Tylko nie rozumiem kroków w dzieleniu i mnożeniu kongruencji. Nie wiem skąd taki wynik.-- 13 lip 2013, o 13:45 --Dlaczego po pomnożeniu stronami przez 2 mamy
\(\displaystyle{ x\equiv 2 \pmod{3}}\)
a nie
\(\displaystyle{ 4x\equiv 2 \pmod{3}}\)
\(\displaystyle{ x\equiv 2 \pmod{3}}\)
a nie
\(\displaystyle{ 4x\equiv 2 \pmod{3}}\)
- Vether
- Użytkownik
- Posty: 408
- Rejestracja: 22 kwie 2013, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 114 razy
Znaleźć wszystkie liczby całkowite x takie, że.
\(\displaystyle{ 4x \equiv 2 \pmod{3}}\)
ale przecież \(\displaystyle{ 4x \equiv x \pmod 3}\), skąd:
\(\displaystyle{ x \equiv 2 \pmod 3}\)
ale przecież \(\displaystyle{ 4x \equiv x \pmod 3}\), skąd:
\(\displaystyle{ x \equiv 2 \pmod 3}\)
- Vether
- Użytkownik
- Posty: 408
- Rejestracja: 22 kwie 2013, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 114 razy
Znaleźć wszystkie liczby całkowite x takie, że.
Hm... mając \(\displaystyle{ a \equiv b \pmod n}\) możemy dowolnie dodawać do jednej ze stron całkowite wielokrotności \(\displaystyle{ n}\).
Dzieje się tak, ponieważ:
\(\displaystyle{ a \equiv b \pmod n \Leftrightarrow n|a-b}\).
Logiczne jest, że \(\displaystyle{ n|kn}\), gdzie \(\displaystyle{ k[ in Z}\), a więc \(\displaystyle{ n|a-b+kn \Leftrightarrow a+kn \equiv b \pmod n}\)
Skoro możemy dowolnie dodawać i odejmować (dla \(\displaystyle{ k<0}\)) wielokrotności \(\displaystyle{ n}\), to:
\(\displaystyle{ 4x \equiv 4x-3x \equiv x \pmod 3}\), ponieważ od \(\displaystyle{ 4x}\) odjęliśmy \(\displaystyle{ 3 \cdot x}\), a więc całkowitą wielokrotność \(\displaystyle{ 3}\).
Na mocy prawa przechodności mamy: \(\displaystyle{ x \equiv 2 \pmod 3}\)
Dzieje się tak, ponieważ:
\(\displaystyle{ a \equiv b \pmod n \Leftrightarrow n|a-b}\).
Logiczne jest, że \(\displaystyle{ n|kn}\), gdzie \(\displaystyle{ k[ in Z}\), a więc \(\displaystyle{ n|a-b+kn \Leftrightarrow a+kn \equiv b \pmod n}\)
Skoro możemy dowolnie dodawać i odejmować (dla \(\displaystyle{ k<0}\)) wielokrotności \(\displaystyle{ n}\), to:
\(\displaystyle{ 4x \equiv 4x-3x \equiv x \pmod 3}\), ponieważ od \(\displaystyle{ 4x}\) odjęliśmy \(\displaystyle{ 3 \cdot x}\), a więc całkowitą wielokrotność \(\displaystyle{ 3}\).
Na mocy prawa przechodności mamy: \(\displaystyle{ x \equiv 2 \pmod 3}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 147
- Rejestracja: 10 lut 2010, o 20:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowe
- Podziękował: 17 razy
Znaleźć wszystkie liczby całkowite x takie, że.
Ok i jak bym miał zamiast\(\displaystyle{ \pmod 3}\) to: \(\displaystyle{ \pmod2}\) to bym normalnie odejmował 4x-2x?
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Znaleźć wszystkie liczby całkowite x takie, że.
Mógłbyś ale byłaby to strata czasu bo \(\displaystyle{ 4x\equiv0\pmod{2}}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\).