Znaleźć wszystkie liczby całkowite x takie, że.

[Lukassz]

Witajcie mam takie zadania do którego nie wiem jak się zabrać. Możecie mi to wyjaśnić krok po kroku? Szukałem w google na temat układów kongruencji ale nic nie zrozumiałem.
Znaleźć wszystkie liczby całkowite x takie, że:

\(\displaystyle{ x\equiv 5 \pmod{7}}\)
\(\displaystyle{ 6x\equiv 3 \pmod{9}}\)
\(\displaystyle{ 4x\equiv 7 \pmod{11}}\)

[szw1710]

\(\displaystyle{ \ZZ_7}\) i \(\displaystyle{ \ZZ_{11}}\) są ciałami. Można sobie dzielić. Mamy \(\displaystyle{ 4^{-1}=3\pmod{11}}\). Więc mamy trzecie równanie w postaci \(\displaystyle{ x\equiv 7\cdot 3=10\pmod{11}}\). Z drugiej kongruencji tak łatwo \(\displaystyle{ x}\) nie wyznaczymy. Ale wyliczymy sobie teraz \(\displaystyle{ 6x}\). Więc

\(\displaystyle{ 6x\equiv 2\pmod{7},\quad 6x\equiv 3\pmod{9},\quad 6x\equiv 5\pmod{11}}\)

Może teraz łatwiejsze będzie wyznaczenie \(\displaystyle{ 6x}\).

[Qń]

Drugie równanie prościej podzielić stronami przez trzy:
\(\displaystyle{ 2x\equiv 1 \pmod{3}}\)
i pomnożyć przez dwa:
\(\displaystyle{ x\equiv 2 \pmod{3}}\)

Q.

[Vether]

A trzecie pomnożyć przez \(\displaystyle{ 3}\):

\(\displaystyle{ 4x \equiv 7 \pmod {11}}\)

\(\displaystyle{ 12x \equiv 21 \pmod {11}}\)

\(\displaystyle{ x \equiv 10 \pmod {11}}\)

[Qń]

A trzecie pomnożyć przez \(\displaystyle{ 3}\)

No to akurat szw1710 już napisał (choć innymi słowami).

Q.

[Vether]

Zauważyłem coś w tym stylu... ale nie rozumiem, skąd to się wzięło xD Więc napisałem trochę prościej

[Lukassz]

Ok. Tylko nie rozumiem kroków w dzieleniu i mnożeniu kongruencji. Nie wiem skąd taki wynik.-- 13 lip 2013, o 13:45 --Dlaczego po pomnożeniu stronami przez 2 mamy
\(\displaystyle{ x\equiv 2 \pmod{3}}\)
a nie
\(\displaystyle{ 4x\equiv 2 \pmod{3}}\)

[Vether]

\(\displaystyle{ 4x \equiv 2 \pmod{3}}\)

ale przecież \(\displaystyle{ 4x \equiv x \pmod 3}\), skąd:

\(\displaystyle{ x \equiv 2 \pmod 3}\)

[Lukassz]

kurcze, nie rozumiem

[Vether]

Hm... mając \(\displaystyle{ a \equiv b \pmod n}\) możemy dowolnie dodawać do jednej ze stron całkowite wielokrotności \(\displaystyle{ n}\).


Dzieje się tak, ponieważ:

\(\displaystyle{ a \equiv b \pmod n \Leftrightarrow n|a-b}\).

Logiczne jest, że \(\displaystyle{ n|kn}\), gdzie \(\displaystyle{ k[ in Z}\), a więc \(\displaystyle{ n|a-b+kn \Leftrightarrow a+kn \equiv b \pmod n}\)


Skoro możemy dowolnie dodawać i odejmować (dla \(\displaystyle{ k<0}\)) wielokrotności \(\displaystyle{ n}\), to:

\(\displaystyle{ 4x \equiv 4x-3x \equiv x \pmod 3}\), ponieważ od \(\displaystyle{ 4x}\) odjęliśmy \(\displaystyle{ 3 \cdot x}\), a więc całkowitą wielokrotność \(\displaystyle{ 3}\).

Na mocy prawa przechodności mamy: \(\displaystyle{ x \equiv 2 \pmod 3}\)

[Lukassz]

Ok i jak bym miał zamiast\(\displaystyle{ \pmod 3}\) to: \(\displaystyle{ \pmod2}\) to bym normalnie odejmował 4x-2x?

[bakala12]

Mógłbyś ale byłaby to strata czasu bo \(\displaystyle{ 4x\equiv0\pmod{2}}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\).