Wykaż, że liczba nie jest pierwsza

[soulforged]

To może pytanie troszkę odbiegające od tematu - warto wziąć udział w następnej OM, czy poczekać jeszcze rok, trenując zadanka? (oczywiście cały czas bym ćwiczył)

[yorgin]

Warto. Nic do stracenia - możesz tylko zyskać, przede wszystkim doświadczenie na początek. A dalej... tylko sukcesy

[soulforged]

No dobra, to nie trace czasu i cwicze dalej... Aby I etap nie sprawial wielkich problemow

[Vax]

Oczywiście, że bierz udział. 1 etap trwa 3 miesiące, więc masz naprawdę sporo czasu na zrobienie tych zadań, poza tym aby dostać się do 2 etapu nie musisz zrobić ich wszystkich, najczęściej 7-8 zadań starcza na 2 etap (w niektórych województwach wystarcza sporo mniej.. ). A co najważniejsze, zyskasz doświadczenie, którego nie startując nie zyskałbyś w żaden inny sposób

[henryk pawlowski]

Zadanie to można rozwiązać znacznie krócej, mianowicie: skoro p większe od \(\displaystyle{ 3}\) jest liczbą pierwszą , to nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\). Zatem któraś z liczb: \(\displaystyle{ p-1}\) i \(\displaystyle{ p+1}\) musi być podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\). Liczba \(\displaystyle{ p+1}\) podzielną przez \(\displaystyle{ 3}\) być nie może , bo wtedy liczba \(\displaystyle{ 10p+1=10(p+1)-9}\) nie byłaby pierwszą(wbrew założeniu). Zatem podzielną przez \(\displaystyle{ 3}\) jest \(\displaystyle{ p-1}\) , a co za tym idzie , również liczba \(\displaystyle{ 5p+1=5(p-1)+6}\). Zatem jako większa od \(\displaystyle{ 3}\) , jest liczbą złożoną.

[szw1710]

Panie Henryku, ale po co taki temat zadania, skoro tezę można postawić znacznie ogólniej?

Cieszę się, że Autor zabrał głos

[henryk pawlowski]

Faktycznie , założenie ,że 10p+1 jest liczbą pierwszą , jest zbyteczne. Zauważenie tego(tym bardziej na olimpiadzie!) jest wysoce premiowane(oceną maksymalną z wykrzyknikiem). Cóż...,zdarzają się zadania na dowodzenie przeładowane założeniami(proszę spojrzeć np. do zadania 1. zawodów II stopnia XXXVI Olimpiady Matematycznej!). I tam zapewne nie było to celowe, a zauważone przez jednego z zawodników ocenione zostało na 10!(wtedy skala ocen była liniowa w zakresie od 1do 10 pkt).
W każdym razie to o czym tutaj rozprawiamy świadczy tylko o jednym: mianowicie, trzeba zawsze starać się samodzielnie rozwiązywać zadania, bo zaglądanie do rozwiązań autorskich po wszelkich próbach samodzielnego atakowania problemu i z pełnym sukcesem ,może przynieść rozwiązującemu(jak powyżej!) prawdziwą satysfakcję! Czego życzę Wam wszystkim z całego serca!

[szw1710]

Ale sądzi Pan, że zauważenie tak trywialnego faktu może być trudne dla olimpijczyka? To przecież gołym okiem widać. Na olimpiadzie nie byłem, acz jestem zawodowym matematykiem

Fajnie Panu wyszło:

ocenione zostało na 10!(wtedy skala ocen była liniowa w zakresie od 1do 10 pkt)

Dobra punktacja: \(\displaystyle{ 10!}\) Ale to tylko żart.

[henryk pawlowski]

Nie no, tutaj z tym zadaniem to jest wpadka. Wystarczyłoby założyć , że p jest po prostu liczbą niepodzielną przez 3,dla której liczba 10p+1 jest pierwsza. No , mój Boże! A któż jest na tym świecie nieomylny... ? Ważne ,że uważny czytelnik potrafi taką rzecz wychwycić! To jest wtedy dla niego prawdziwą satysfakcją i zachętą do dalszej pracy!

[szw1710]

Zrekapituluję sprawę. Chodzi mi o tezę:

to liczba \(\displaystyle{ 5p+1}\) nie jest pierwsza.

Napisałem, że to idzie pod założeniem, że \(\displaystyle{ p\in\NN}\) nieparzyste, \(\displaystyle{ p\ge 3}\), jako że wtedy \(\displaystyle{ 5p}\) jest też nieparzyste, więc \(\displaystyle{ 5p+1}\) parzyste. O zauważenie tego pytałem.

A czy to zadanie z Pana książki? Prosiłem o skana na PW, ale może u źródła wyjaśnię.

[henryk pawlowski]

p nie musi być naturalne ,to raz! A po drugie ,dlaczego nie mniejsze od 3. Wystarczy ,że jest liczbą całkowitą niepodzielną przez 3. A czy to zadanie jest z mojej książki? Niewykluczone , ale jakie to ma teraz znaczenie?

[szw1710]

Ograniczyłem się do liczb naturalnych, nie biorąc pod uwagę całkowitych, dla ustalenia uwagi czy prostoty dyskusji. Idzie też dla \(\displaystyle{ p=1}\), bo wtedy mamy \(\displaystyle{ 6}\). Nie wiem czemu napisałem \(\displaystyle{ p\ge 3}\). Może dlatego, że już późno i rozważyłem \(\displaystyle{ p=2}\) (parzyste, a zakładałem nieparzystość).

Oczywiście nie to jest najważniejsze. Cieszę się, że wyraża Pan pogląd o wysokiej ocenie za zauważenie możliwości uogólnienia. Dobrze to koresponduje z moim poglądem też wyrażonym w tej dyskusji (dobra jest każda metoda prowadząca do celu, byle poprawna). Na tym chyba matematyka polega, nie na powielaniu utartych schematów.

Bardzo dziękuję za ciekawą dyskusję. Cieszę się, że jest Pan członkiem naszego Forum. Oby więcej takich ludzi jak Pan. Pozdrawiam serdecznie życząc dobrej nocy.

[soulforged]

Skan wysłany na PW.