Obliczyć całki

[dav123]

Poniżej napisałem kilkanaście całek, których nie umiem obliczyć (w szczególności całek z \(\displaystyle{ e}\)). Jeśli wiecie jak je obliczyć to zapiszcie rozwiązania , ewentualnie jakieś podpowiedzi.
Całki od 1-10 w ogóle nie wiem jak obliczyć, natomiast całki od 11-14 obliczyłem (zdawałby mi się że dobrze, jednak nie zgadzają się z prawidłowymi odpowiedziami) źle i podałem prawidłowe wyniki. Jeśli zauważycie w nich błąd to napiszcie w którym miejscu.
I jeszcze pytanie odnośnie całkowania przez części. Jeśli całkę\(\displaystyle{ \int_{}^{} udv}\) raz całkuję przez części to mam całkę takiej postaci: \(\displaystyle{ uv- \int_{}^{} vdu}\) I czy teraz całkę \(\displaystyle{ \int_{}^{} vdu}\) mogę jeszcze raz całkować przez części, czyli w taki sam sposób jak na początku całkowałem całkę \(\displaystyle{ \int_{}^{} udv}\) ? I tak całkować dowolną ilość razy?

1. \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{e ^{ \frac{1}{x} } }{x ^{2} }dx}\)
2. \(\displaystyle{ \int_{}^{} xe ^{-x ^{2} }dx}\)
3.\(\displaystyle{ \int_{}^{} x\ln(1+x ^{2}) dx}\)
4.\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{x \sqrt{1-\ln ^{2} \left| x\right| } }}\)
5.\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{\ln\left| \arctan x\right|dx }{1+x ^{2} }}\)
6.\(\displaystyle{ \int_{}^{} x ^{2}e ^{x}dx}\)
7.\(\displaystyle{ \int_{}^{} x ^{3}e ^{x}dx}\)
8.\(\displaystyle{ \int_{}^{} x ^{4}e ^{2x} dx}\)
9.\(\displaystyle{ \int_{}^{} x ^{2}\cos x dx}\)
10.\(\displaystyle{ \int_{}^{} x ^{2}\sin 5x dx}\)

11.
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x-1}{ \sqrt[3]{x+1} } = \left\langle t=x+1; dx=dt\right\rangle = \int_{}^{} \frac{t-2}{t ^{ \frac{1}{3} } }dt = \int_{}^{} \frac{t}{t ^{ \frac{1}{3} } } dt - \int_{}^{} \frac{2}{t ^{ \frac{1}{3} } }dt = \int_{}^{} t ^{ \frac{2}{3} }dt - 2 \int_{}^{}t ^{ -\frac{1}{3} } dt = \frac{3}{5}t ^{ \frac{5}{3} } - 2\cdot \frac{3}{2}t ^{ \frac{2}{3} } = \frac{3}{5} \sqrt[3]{(x+1) ^{5} } - 3 \sqrt[3]{(x+1) ^{2} }}\)

Prawidłowy wynik to \(\displaystyle{ \frac{3}{5}(x-4) \sqrt[3]{(x+1) ^{2} }}\)


12.
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{e ^{x}+e ^{-x} } = \left\langle t=e ^{x};dx= \frac{dt}{e ^{x} } \right\rangle = \int_{}^{} \frac{dt}{e ^{x} } \left( \frac{1}{t} + t\right) = \int_{}^{} \frac{1}{t}\left ( \frac{1}{t} +t\right) dt = \int_{}^{} \frac{1}{t ^{2} } + 1 = \int_{}^{} \frac{t}{t ^{2} }dt + \int_{}^{} 1dt = \frac{t ^{-1} }{-1} +x = - \frac{1}{e ^{x} }+x}\)

Prawidłowy wynik to \(\displaystyle{ \arctg e ^{x}}\)


13.
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{( \pi - \arcsin x)dx}{ \sqrt{1-x ^{2} } } = \left\langle t= \pi -\arcsin x; dx = - \sqrt{1-x ^{2} } }dt \right\rangle = \int_{}^{} t\cdot (-1)dt = - \frac{1}{2} t ^{2} = - \frac{1}{2}( \pi -\arcsin x) ^{2}}\)

Prawidłowy wynik to \(\displaystyle{ \pi \arcsin x - \frac{1}{2}(\arcsin x) ^{2}}\)


14.
\(\displaystyle{ \int_{}^{} x ^{4} (1+x) ^{3}}\) po wymnożeniu \(\displaystyle{ \int_{}^{} x ^{7}+3x ^{6}+3x ^{5} +x ^{4} = \frac{1}{8}x ^{8}+ \frac{3}{7}x ^{7} + \frac{1}{2} x ^{6} + \frac{1}{5} x^{5}}\)

Prawidłowy wynik to \(\displaystyle{ \frac{1}{5} x^{5}(1+x) ^{3} - \frac{1}{10} x^{6}(1+x) ^{2} + \frac{1}{5}\left( \frac{1}{7} x ^{7}+ \frac{1}{8} x^{8}\right)}\)

[yorgin]

I jeszcze pytanie odnośnie całkowania przez części. Jeśli całkę\(\displaystyle{ \int_{}^{} udv}\) raz całkuję przez części to mam całkę takiej postaci: \(\displaystyle{ uv- \int_{}^{} vdu}\) I czy teraz całkę \(\displaystyle{ \int_{}^{} vdu}\) mogę jeszcze raz całkować przez części, czyli w taki sam sposób jak na początku całkowałem całkę \(\displaystyle{ \int_{}^{} udv}\) ? I tak całkować dowolną ilość razy?
[/latex]

Stosujesz niepoprawny zapis. \(\displaystyle{ du, dv}\) to nie są pochodne. Prawidłowo (zmienna to \(\displaystyle{ x}\))

\(\displaystyle{ \int uv'dx=uv-\int u'vdx}\)

I tak, możesz całkować przez części tak długo, jak możesz liczyć pochodną.

Wskazówki do całek:

1. \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{e ^{ \frac{1}{x} } }{x ^{2} }dx}\)

Podstaw za wykładnik.

2. \(\displaystyle{ \int_{}^{} xe ^{-x ^{2} }dx}\)

Podstaw za wykładnik.

3.\(\displaystyle{ \int_{}^{} xln(1+x ^{2}) dx}\)

Podstaw za wyrażenie pod logarytmem.

4.\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{x \sqrt{1-ln ^{2} \left| x\right| } }}\)

Podstaw za logarytm.

5.\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ln\left| arctgx\right|dx }{1+x ^{2} }}\)

Podstaw za wyrażenie pod logarytmem.

6.\(\displaystyle{ \int_{}^{} x ^{2}e ^{x}dx}\)

Dwukrotnie przez części.

7.\(\displaystyle{ \int_{}^{} x ^{3}e ^{x}dx}\)

Trzykrotnie przez części.

8.\(\displaystyle{ \int_{}^{} x ^{4}e ^{2x} dx}\)

Czterokrotnie...

9.\(\displaystyle{ \int_{}^{} x ^{2}cosx dx}\)

Dwa razy przez części.

10.\(\displaystyle{ \int_{}^{} x ^{2}sin5x dx}\)

Dwa razy przez części.

Resztę przejrzę jutro.

[Lagrange]

11) Twój wynik oraz odpowiedź są tożsamościami.

12) Wg. Ciebie: \(\displaystyle{ \frac{1}{e^x+e^{-x}}= \frac{1}{e^x}+e^x}\).

13) Różnica w stałej całkowania.

14) Nie sprawdzałem Twojego wymnażania, ale odpowiedź jest tak zapisana z powodu kilkukrotnego całkowania przez części - polecam spróbowania tego sposobu. Lepiej jest chyba całkować przez części niż "pałowo" wymnażać .

Dodatkowo w każdym wyniku brakuje stałej całkowania.

[yorgin]

11.
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x-1}{ \sqrt[3]{x+1} } = \left\langle t=x+1; dx=dt\right\rangle = \int_{}^{} \frac{t-2}{t ^{ \frac{1}{3} } }dt = \int_{}^{} \frac{t}{t ^{ \frac{1}{3} } } dt - \int_{}^{} \frac{2}{t ^{ \frac{1}{3} } }dt = \int_{}^{} t ^{ \frac{2}{3} }dt - 2 \int_{}^{}t ^{ -\frac{1}{3} } dt = \frac{3}{5}t ^{ \frac{5}{3} } - 2\cdot \frac{3}{2}t ^{ \frac{2}{3} } = \frac{3}{5} \sqrt[3]{(x+1) ^{5} } - 3 \sqrt[3]{(x+1) ^{2} }}\)

Prawidłowy wynik to \(\displaystyle{ \frac{3}{5}(x-4) \sqrt[3]{(x+1) ^{2} }}\)

Wyłącz \(\displaystyle{ \sqrt[3]{(x+1)^2}}\) przed nawias. Brakuje stałej całkowania.

12.
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{e ^{x}+e ^{-x} } = \left\langle t=e ^{x};dx= \frac{dt}{e ^{x} } \right\rangle = \int_{}^{} \frac{dt}{e ^{x} } \left( \frac{1}{t} + t\right) = \int_{}^{} \frac{1}{t}\left ( \frac{1}{t} +t\right) dt = \int_{}^{} \frac{1}{t ^{2} } + 1 = \int_{}^{} \frac{t}{t ^{2} }dt + \int_{}^{} 1dt = \frac{t ^{-1} }{-1} +x = - \frac{1}{e ^{x} }+x}\)

Prawidłowy wynik to \(\displaystyle{ \arctg e ^{x}}\)

Po podstawieniu wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{1}{t}+t}\) winno znaleźć się w mianowniku.

13.
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{( \pi - \arcsin x)dx}{ \sqrt{1-x ^{2} } } = \left\langle t= \pi -\arcsin x; dx = - \sqrt{1-x ^{2} } }dt \right\rangle = \int_{}^{} t\cdot (-1)dt = - \frac{1}{2} t ^{2} = - \frac{1}{2}( \pi -\arcsin x) ^{2}}\)

Prawidłowy wynik to \(\displaystyle{ \pi \arcsin x - \frac{1}{2}(\arcsin x) ^{2}}\)

Wychodzi to samo z dokładnością do stałej.

14.
\(\displaystyle{ \int_{}^{} x ^{4} (1+x) ^{3}}\) po wymnożeniu \(\displaystyle{ \int_{}^{} x ^{7}+3x ^{6}+3x ^{5} +x ^{4} = \frac{1}{8}x ^{8}+ \frac{3}{7}x ^{7} + \frac{1}{2} x ^{6} + \frac{1}{5} x^{5}}\)

Prawidłowy wynik to \(\displaystyle{ \frac{1}{5} x^{5}(1+x) ^{3} - \frac{1}{10} x^{6}(1+x) ^{2} + \frac{1}{5}\left( \frac{1}{7} x ^{7}+ \frac{1}{8} x^{8}\right)}\)

Wynik z odpowiedzi został wyznaczony całkowaniem przez części. Jestem pewien, że jest tożsamy z Twoim. W tym przypadku wymnożenie jeszcze jest łatwe, ale dla wyższych potęg można albo całkować przez części, albo czasem podstawić. Ale to zależy od przykładu.

Nie zapominaj o stałej całkowania.

[Mariusz M]

Całki z zadań

\(\displaystyle{ 1), 2), 4), 12)}\)

trzeba policzyć podstawieniem (yorgin już je podał)

Pozostałe całki należy policzyć przez części

przy czym \(\displaystyle{ 11) , 13)}\)

da się policzyć obiema metodami

[dav123]

Stosujesz niepoprawny zapis. du, dv to nie są pochodne. Prawidłowo (zmienna to x)

\(\displaystyle{ \int uv'dx=uv-\int u'vdx}\)

miałem na myśli taki wzór: \(\displaystyle{ \int_{}^{} udv = uv - \int_{}^{} vdu}\)
gdzie \(\displaystyle{ du = u' dx}\)
\(\displaystyle{ v= \int_{}^{} dv}\)


w przykładach 3 i 5 po podstawieniu wychodzi mi odpowiednio \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int_{}^{} \ln t dt}\)
i
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \ln \left| t\right|dt}\) nie wiem co można z tym zrobić dalej.

I jeszcze mam dwie całki, których nie wiem za bardzo jak rozwiązać
15
\(\displaystyle{ \int_{}^{} e ^{\sin x}\cos xdx}\) próbowałem przez części, ale nie wychodziło mi coś ;/

16
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{\sin ^{3} x}{\cos x ^{4} }dx}\)


Pozwolicie że jeszcze o coś się tu zapytam. Zadania typu: oblicz pole ograniczone (parabolą, łukiem osią \(\displaystyle{ x}\) itp.) \(\displaystyle{ y=coś}\) w punktach \(\displaystyle{ x=2, x=3}\). Wtedy obliczamy całkę oznaczoną od \(\displaystyle{ 2}\) do \(\displaystyle{ 3}\) z \(\displaystyle{ y}\).
A jeśli będziemy mieli obliczyć pole obszaru ograniczone krzywymi \(\displaystyle{ y= \sqrt{x},y=x ^{4}}\) i \(\displaystyle{ x>0}\)
albo
\(\displaystyle{ y=2x-x ^{2},y=-x ^{2}+4x-3}\) i osią \(\displaystyle{ x}\)?
Jak to wtedy wygląda? Z czego liczymy całkę jak mamy dwa igreki?

[Lagrange]

Zauważ, że: \(\displaystyle{ \int \ln t \mbox{d}t =\int (t)' \cdot \ln t \mbox{d}t}\) - innymi słowy: całkowanie przez części.

Również: \(\displaystyle{ \int e ^{f(x)} \cdot f'(x) \mbox{d}x =e ^{f(x)}+C}\), zatem jaki będzie wynik w 15?

Co do przykładu 16. Mniemam, że ma inaczej wyglądać?

Jeśli nie masz podanych odciętych to po prostu musisz obliczyć punkty przecięcia się wykresów.

Przykład: Pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji: \(\displaystyle{ y=2x-x ^{2}, \ y=-x ^{2}+4x-3}\) oraz osią \(\displaystyle{ OX}\).

Punkty przecięcia się wykresów obliczasz rozwiązując układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}y=2x-x ^{2} \\ y=-x ^{2}+4x-3 \end{cases}}\)

Następnie narysuj sobie wykresy i wywnioskuj jaką całkę (ew. całki) musisz policzyć.

[dav123]

w takim razie wynik w 15 przykładzie będzie \(\displaystyle{ e ^{sinx} +C}\)

Jeśli chodzi o przykład 16, to dobrze przepisałem całkę z zadania, jednak też myślę, że po prostu autor zadania mógł popełnić błąd.

Dzięki za odpowiedzi

[bakala12]

przykład 15 jest ok.
Co do 16 to być może jest jakiś błąd bo to nie wygląda zbyt ładnie.

[yorgin]

W 16 prawie na pewno miało być

\(\displaystyle{ \int\frac{\sin^3 x}{\cos^4 x}dx}\)

gdyż przy obecnym zapisie całka jest nieelementarna.