wykazać, że równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste

[sulaw]

Równanie wygląda tak \(\displaystyle{ e^x=-x^2+2x+5}\)
Udało mi się z tw. Darboux wykazać, że ma co najmniej dwa rozwiązania rzeczywiste. Ale nie wiem, jak pokazać, że są co najwyżej dwa pierwiastki.

[gryxon]

\(\displaystyle{ f(x)=e^{x}+2x^{2}-2x-5}\)

Nie dasz rady zobaczyć że funkcja od któregoś tam momentu jest rosnąca więc nie przetnie osi?

Analogicznie w drugą strone?

[Lagrange]

Posłuchaj na początku rady kolegi wyżej i spróbuj sam, a jako, że już napisałem to nie będę kasował.

Rozpatrzmy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=e^x+x^2-2x-5}\), łatwo zauważyć, że jest ciągła. Dodatkowo jej druga pochodna \(\displaystyle{ f''(x)=e^x+2>0}\), zatem z tego wynika, że jej pierwsza pochodna \(\displaystyle{ f'(x)=e^x+2x-2}\) jest ściśle rosnąca oraz wnioskujemy, że przetnie się z osią \(\displaystyle{ OX}\) tylko w jednym punkcie, stąd wynika, że \(\displaystyle{ f(x)}\) jest pierw ściśle malejąca, a potem ściśle rosnąca - z tego mamy, że może mieć co najwyżej dwa miejsca zerowe.

[sulaw]

Ok, bardzo dziękuję.
Czy jest sposób, by łatwiej szacować minimalną liczbę pierwiastków niż poprzez tw. Darboux?

[yorgin]

Równanie wygląda tak \(\displaystyle{ e^x=-x^2+2x+5}\)
Udało mi się z tw. Darboux wykazać, że ma co najmniej dwa rozwiązania rzeczywiste. Ale nie wiem, jak pokazać, że są co najwyżej dwa pierwiastki.

Zdefiniowana wyżej funkcja

\(\displaystyle{ f(x)=e^x+x^2-2x-5}\)

jest wypukła, stąd można również wywnioskować tezę odrobinę szybciej.

[sulaw]

Czy wystarczy pokazać, że w jednym punkcie funkcja przyjmuje wartość ujemną i dalej z wypukłości? Bo nie za bardzo widzę teraz, jak działa Twoja metoda.

[yorgin]

Czy wystarczy pokazać, że w jednym punkcie funkcja przyjmuje wartość ujemną i dalej z wypukłości?

Dokładnie tyle wystarczy.

[Dasio11]

Czy tu się przypadkiem stwierdza, że każda funkcja wypukła, która przyjmuje pewną wartość ujemną, ma dokładnie dwa miejsca zerowe?

[yorgin]

Dasio11, oczywiście, że nie. Funkcja liniowa jest doskonałym kontrprzykładem. Funkcja \(\displaystyle{ f}\) zdefiniowana wcześniej ma jednak co najmniej dwa miejsca zerowe. I jest dobrej klasy. Dla tej właśnie funkcji stosujemy argument wypukłości (nie dla dowolnej!).

[Dasio11]

Hm, ano dobrze. Przyznam, że posiadanie przez funkcję dwóch miejsc zerowych w połączeniu z jej wypukłością w dość obrazowy sposób wystarcza, żeby więcej miejsc zerowych nie było. Ale z dyskusji zrozumiałem, że wypisanie tych własności ma stanowić kompletny argument, co mnie nie przekonuje.