Oblicz mase obszaru miedzy dwoma sferami

[GrazynkaUTP]

Znaleźć masę obszaru leżącego między koncentrycznymi sferami o promieniu 1 i 2 jeśli gęstość jest proporcjonalna do odległości od środka sfer.

Myśle że zadanie jest proste ale zapomniałem jak się je rozwiązuje. Pamiętam że trzeba przejsc do wsółrzędnych sferycznych. Ale coś mi nie wychodzi. Odpowiedz to 15\(\displaystyle{ \pi}\) k. Gdzie k to współczynnik proporcjonalności.

Może ktoś mi powie co robie źle.
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2 \pi } \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2}} \int_{1}^{2} } r^{2}sin \phi dr d\phi d\teta}\)

[yorgin]

Gdzieś w tej całce powinna zostać uwzględniona gęstość. Twoja całka natomiast wygląda tak, jakbyś liczyła objętość, nie gęstość. I to tylko tej części, która spełnia warunek \(\displaystyle{ z\geq 0}\).

[GrazynkaUTP]

ten wspołczynnik k daje przed całkę
\(\displaystyle{ k \int_{0}^{2 \pi } \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2}} \int_{1}^{2} } r^{2}sin \phi dr d\phi d\teta}\)
ale nie wiem jak poprawnie zapisać tą całkę.

[yorgin]

Gęstość wyraża się wzorem

\(\displaystyle{ f(x,y,z)=k\cdot \sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)

co wynika z treści zadania.

Dalej, \(\displaystyle{ m=f\cdot V}\)

gdzie \(\displaystyle{ V}\) to objętość, \(\displaystyle{ m}\) to masa. Stąd

\(\displaystyle{ dm=fdV}\)

czyli masa to całka

\(\displaystyle{ \int_Kdm=\int_K fdV}\)

gdzie \(\displaystyle{ K}\) to obszar między sferami.

[GrazynkaUTP]

dzięki, nie mogłem zrozumieć skąd ten wzór na gęstość ale to po prostu trzeba umieć chyba

[yorgin]

[GrazynkaUTP]

Czy ta całka po przjsciu na sferyczne i skróceniu jedynek trygonometrycznych powinna wyglądać tak?
razy 2 bo są dwie połówki jakby

\(\displaystyle{ 2\cdot k \int_{0}^{2 \pi } \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2}} \int_{1}^{2} } r^{3}sin \phi dr d\phi d\teta}\)

bo wynik tego jest \(\displaystyle{ 7,5}\) a nie \(\displaystyle{ 15}\)

[yorgin]

Z tego wychodzi \(\displaystyle{ 15}\). Sprawdź jeszcze raz swoje obliczenia.

P.S. Przy całce brakuje oznaczenia \(\displaystyle{ d(\mbox{drugi kąt})}\)