przeliczalna baza

[zaudi]

Wykazać, że:
Jeżeli \(\displaystyle{ X}\) jest przestrzenią metryczną ośrodkową to \(\displaystyle{ X}\) ma przeliczalną bazę.

[Spektralny]

Niech \(\displaystyle{ \{x_n\colon n\in \mathbb{N}\}}\) będzie przeliczalnym zbiorem gęstym. Zbiór

\(\displaystyle{ \{K(x_n, q)\colon n\in \mathbb{N}, q\in \mathbb{Q}\cap (0,\infty)\}}\)

jest przeliczalną bazą topologii.

[zaudi]

Widać, że jest przeliczalny a jak pokazać, że jest bazą, z def jakoś ciężko mi idzie.

[Dasio11]

Oznaczmy

\(\displaystyle{ \mathcal B = \{K(x_n, q)\colon n\in \mathbb{N}, q\in \mathbb{Q}\cap (0,\infty)\}.}\)

Ustalmy dowolny zbiór otwarty \(\displaystyle{ U}\) i dowolny element \(\displaystyle{ y_0 \in U.}\) Wystarczy pokazać, że istnieje taki \(\displaystyle{ A \in \mathcal B,}\) że \(\displaystyle{ y_0 \in A}\) oraz \(\displaystyle{ A \subseteq U.}\)
Skoro \(\displaystyle{ U}\) jest otwarty i \(\displaystyle{ y_0 \in U,}\) to istnieje taka kula \(\displaystyle{ K}\) o środku w \(\displaystyle{ y_0,}\) że \(\displaystyle{ K \subseteq U.}\) Oznaczmy promień tej kuli przez \(\displaystyle{ r.}\) Kula

\(\displaystyle{ K \left( y_0, \frac{r}{2} \right)}\)

jest zbiorem otwartym a \(\displaystyle{ \{ x_n \}}\) jest ośrodkiem, zatem \(\displaystyle{ x_n \in K \left( y_0, \frac{r}{2} \right)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \NN.}\) Wystarczy sprawdzić, że

\(\displaystyle{ K \left( x_n, \frac{r}{2} \right) \in \mathcal B,}\)

\(\displaystyle{ y_0 \in K \left( x_n, \frac{r}{2} \right)}\)

oraz

\(\displaystyle{ K \left( x_n, \frac{r}{2} \right) \subseteq K ( x_n, r ),}\)

a wówczas skoro \(\displaystyle{ K ( x_n, r ) \subseteq U,}\) to zadanie będzie rozwiązane.