Szereg Maclaurina

[madziullamk]

Mam rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję \(\displaystyle{ \frac{x ^{2}+1}{ x^{3}-3x+2}}\). Teoretycznie powinnam to rozłożyć na ułamki proste, ale za każdym razem jak próbuję to dochodzę do sprzeczności. Czy to możliwe, że tej funkcji nie da się tak rozłożyć?

[El Sajmono]

Tego typu funkcję można rozwinąć w taki sposób:

Zakładamy, że:

\(\displaystyle{ \frac{x^2 + 1}{x^3 -3x + 2} = a_{0} +a_{1}x + a_{2}x^2 +a_{3}x^3 +...}\)

zatem:

\(\displaystyle{ x^2 + 1 = (a_{0}+ a_{1}x + a_{2}x^2+ a_{3}x^3 +... )(x^3 -3x + 2)}\)

wymnażając mamy:

\(\displaystyle{ x^2 + 1 = (a_{0}x^3 + a_{1} x^4 + a_{2} x^5 + ....) + (-3 a_{0}x - 3 a_{1}x^2 -3 a_{2}x^3 - ...) + (2 a_{0} + 2a_{1}x + 2 a_{2}x^2+ ...)}\)

stąd

\(\displaystyle{ 2 a_{0}= 1}\) ,\(\displaystyle{ a_{0} = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ -3 a_{0}+2 a_{1} = 0}\), \(\displaystyle{ a_{1}= \frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle{ -3 a_{1} + 2a_{2} = 1}\), \(\displaystyle{ a_{2} = \frac{13}{8}}\)

zatem:
\(\displaystyle{ \frac{x^2 + 1}{x^3 -3x - 2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{4}x + \frac{13}{8}x^3 + ...}\)

[yorgin]

El Sajmono, jak wygląda ogólny wyraz?

madziullamk, na czym polegają te sprzeczności?

[madziullamk]

Mianownik mogę zapisać jako \(\displaystyle{ (x+2)(x-1)(x-1)}\). Wtedy rozkład na ułamki proste wyglądałby tak \(\displaystyle{ \frac{A}{x+2}+ \frac{B}{x-1}+ \frac{C}{x-1}}\). Rozpisując to dalej wychodzi mi, że nie ma takich A,B i C które spełniałyby tą równość. Wychodzi mi chyba taki układ równań:
\(\displaystyle{ A+B+C=1,
-2A+B+C=0,
A-2B-2C=1}\).
A to jest układ sprzeczny.

[yorgin]

Wtedy rozkład na ułamki proste wyglądałby tak \(\displaystyle{ \frac{A}{x+2}+ \frac{B}{x-1}+ \frac{C}{x-1}}\).

W takim przypadku rozkład na ułamki proste wygląda następująco:

\(\displaystyle{ \frac{A}{x+2}+ \frac{B}{x-1}+ \frac{C}{(x-1)^2}}\)

[madziullamk]

A moge wiedzieć dlaczego tak?

[yorgin]

Takie są zasady. Takie jest twierdzenie i definicja.

https://www.matematyka.pl/298450.htm

[madziullamk]

To juz wiem co robiłam źle. Dziękuję