Walec w kuli, objętość figury, współrzędne sferyczne

[Browning0]

Witajcie, będę wdzięczny za pomoc z tym zadankiem:

Obliczyć objętość obszaru leżącego wewnątrz sfery \(\displaystyle{ x^2 + y^2 + z^2 = R^2}\) i wewnątrz walca \(\displaystyle{ x^2 + y^2 = a^2}\) jeśli \(\displaystyle{ 0 < a < R}\)

Udało mi się to zadanie rozwalić współrzędnymi walcowymi. W odpowiedzi do zadania znalazłem sposób rozwiązania przy użyciu całki podwójnej. Próbowałem jednak jakoś się do tego dobrać ze współrzędnymi sferycznymi i... poległem.

Na początku wprowadzę odpowiednie oznaczenia:
\(\displaystyle{ x = r \cos{\varphi} \cos{\psi} \quad y = r \sin{\varphi} \cos{\psi} \quad z = r \sin{\psi}}\)

I moja kula wygląda teraz tak:
\(\displaystyle{ r = R}\)

A mój walec:
\(\displaystyle{ r \cos{\psi} = a}\)

Co by uprościć obliczenia postanowiłem policzyć tylko górną część figury. Wiem że wynik powinien zależeć od parametrów \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ R}\), więc jakoś to powinno być odwzorowane w przedziałach. Widzę że od parametru \(\displaystyle{ R}\) mogę ograniczyć tylko zmienną \(\displaystyle{ r}\). W takim razie aby zdobyć parametr \(\displaystyle{ a}\) muszę od niego jakoś uzależnić \(\displaystyle{ \psi}\). No ale moja "propozycja" ograniczenia tego obszaru nie działa...

\(\displaystyle{ r in left[0, R
ight] \ psi in left[0, arctg{left( frac{a}{r}
ight) }
ight] \ varphi in left[0, 2 pi
ight)}\)

Co robię źle?

[yorgin]

Przy przejściu z walca na sferę zakresy ulegają drastycznej zmianie. W szczególności zmienia się zakres \(\displaystyle{ r}\). Zakres \(\displaystyle{ \psi}\) - jesteś pewien, że będzie taki sam niezależnie od promienia?

I uważaj, by nie uzależniać kąta od promienia i promienia od kąta - pętla jest niewskazana.

[janusz47]

Parametryzacja współrzędnymi walcowymi:

\(\displaystyle{ F:(r, \theta, z)\rightarrow (r\cos(\theta), r\sin(\theta), z),}\)
\(\displaystyle{ det F'(r,\theta, z)= r.}\)

\(\displaystyle{ V=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{a}dr \int_{-\sqrt{R^{2}-r^{2}}}^{\sqrt{R^{2}-r^{2}}}rdz,}\)
\(\displaystyle{ V= 2\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{a}r\sqrt{R^{2}-r^{2}}dr.}\)

[yorgin]

janusz47, bardzo ładnie walcowymi, ale problem dotyczy sferycznych. Czytaj uważnie treść problemu.

[janusz47]

yorgin,
zwróciłem uwagę, że można prościej - współrzędnymi walcowymi.

[yorgin]

Udało mi się to zadanie rozwalić współrzędnymi walcowymi. [...] Próbowałem jednak jakoś się do tego dobrać ze współrzędnymi sferycznymi i... poległem.