Całka podwójna - pole stożka

[wojciszek]

Witam, mam problem z nastepujacym zadaniem
mam problem z wyliczeniem pola stożka (\(\displaystyle{ x^2 - y^2 = z^2}\)) ( zawartego w walcu (\(\displaystyle{ x^2 + y^2 = 2ax}\))

doszedłem do postaci \(\displaystyle{ \int\limits_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\int\limits_{0}^{2acos\phi} \sqrt{\frac{2{cos^2\phi}}{2cos^2\phi-1}}r dr d\phi}\)

[luka52]

Całka wydaje się być ok, jedynie granice zmian kąta powinny być inne: \(\displaystyle{ -\tfrac{\pi}{2} \le \phi \le \tfrac{\pi}{2}}\), choć powoduje to że wyrażenie pod pierwiastkiem może być ujemne - pomyśl jak to rozwiązać ; dodatkowo całość należy jeszcze przez 2 pomnożyć, bo mamy "górną" i "dolną" część.
Całkując po \(\displaystyle{ r}\) otrzymamy coś takiego:

\(\displaystyle{ \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos^3 \phi}{\sqrt{2 \cos^2 \phi - 1}} \; \mbox d \phi = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos \phi (1 - \sin^2 \phi)}{\sqrt{ 1 - 2 \sin^2 \phi }} \; \mbox d \phi = \int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1 - t^2}{\sqrt{1 - 2 t^2}} \; \mbox d t}\)

A to już prosta, acz żmudna całka.