Promień zbieżności szeregu potęgowego

[kacper93k]

Witam.

Nie jestem pewien, czy dobrze rozwiązałem zadanie z wyznaczeniem promieniu i zbadaniem zbieżności na krańcach zbieżności. Mianowicie, promień wyszedł mi \(\displaystyle{ \infty}\). Rzucicie okiem na rozwiązanie?

\(\displaystyle{ \sum_{ n=1}^{\infty } \frac{ \left( n^{2} + n\right) 2^{2n} }{ 3^{3n} } x^{n}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{\frac{ \left( n^{2} + n\right) 2^{2n} }{ 3^{3n} }} = \lim_{ n\to \infty } \frac{\sqrt[n]{\left( n^{2} + n\right) 2^{2n}}}{ \sqrt[n]{ 3^{3n}} } = \lim_{ n\to \infty } \frac{\sqrt[n]{\left( n^{2} + n\right) } \sqrt[n]{ 2^{2n} } }{ \sqrt[n]{ 3^{3n}} } = \lim_{ n\to \infty } \frac{4n}{9}}\)

Wychodzi \(\displaystyle{ \frac{ \infty }{9}}\) ale muszę wziąć odwrotność do promienia, czyli stała przez nieskończoność a to się równa 0.

Dobry tok rozumowania? Teraz sprawdzam jak się zachowuje w punkcie x=0. Jeżeli wszystko ok, to napiszcie, ewentualnie poprawcie jeżeli gdzieś zrobiłem błąd. Zależy mi na rozwiązaniu, bo to zadanie z zeszłorocznego egzaminu

[Luna777]

Masz błąd rachunkowy: \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n^{2}+n}}\) to nie to samo co \(\displaystyle{ n}\), ale znacznie mniej. Po usunięciu tego błędu (pamiętając, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n^{2}+n}=1}\))mamy , że promień zbieżności to \(\displaystyle{ \frac{9}{4}}\). Błędnie nazywasz to, co ci wyszło promieniem zbieżności. Promień zbieżności to odwrotność tej granicy.

[kacper93k]

Ok, dzięki. W ogóle zauważyłem, ze powinno byc 27 a nie 9