"Wyznacz krzywe dla których odcinek stycznej zawarty pomiędzy osiami współrzędnych ma stałą długość równą \(\displaystyle{ d}\)"
Mam więc tak:
Musi być spełniony warunek \(\displaystyle{ x_p^2+t_z^2=d^2}\)
Równanie stycznej:
\(\displaystyle{ x=x_0+x_0'(t-t_0)}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x_p=x_0-t_0x_0' \\ \\ t_z=\dfrac{t_0x_0'-x_0}{x_0'}\end{cases}}\)
Dostaję równanie różniczkowe:
\(\displaystyle{ (x-tx')^2+\frac{(x-tx')^2}{x'^2}=d^2}\)
Którego rozwiązać nie potrafię. Pomoże ktoś?
Krzywe, dla których odcinek stycznej ma stałą długość.
-
Rumek
- Użytkownik
- Posty: 95
- Rejestracja: 12 kwie 2011, o 12:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 20 razy
Krzywe, dla których odcinek stycznej ma stałą długość.
Wyciągamy przed nawias i mamy
\(\displaystyle{ (x-tx')^2\left(\frac{x'^2+1}{x'^2}\right) = d^2}\)
Dalej wyciągamy pierwiastek i wyliczamy \(\displaystyle{ x}\) dostając równania
\(\displaystyle{ x = tx'\pm \frac{dx'}{\sqrt{1+x'^2}}}\)
Każde z tych równań jest . Jego rozwiązaniem jest rodzina prostych i jej obwiednia i ona właśnie będzie rozwiązaniem. Będzie to astroida.
\(\displaystyle{ (x-tx')^2\left(\frac{x'^2+1}{x'^2}\right) = d^2}\)
Dalej wyciągamy pierwiastek i wyliczamy \(\displaystyle{ x}\) dostając równania
\(\displaystyle{ x = tx'\pm \frac{dx'}{\sqrt{1+x'^2}}}\)
Każde z tych równań jest . Jego rozwiązaniem jest rodzina prostych i jej obwiednia i ona właśnie będzie rozwiązaniem. Będzie to astroida.