Całka oznaczona

[jaciel]

Witam,
prosilbym o rozwiazanie całki:

\(\displaystyle{ \int_{-2/5}^{2/5} \frac{dx}{4+25^2}}\)

[yorgin]

Całka z funkcji stałej. W czym problem?

[jaciel]

Nie mam pojęcia o całkach, a takie rzeczy mi każą na zaliczenie rozwiązać:D

[yorgin]

Aha. Nie masz pojęcia. Co się robiło na zajęciach?

[smallares25]

Policzenie tej całki jest naprawdę proste.

\(\displaystyle{ \int_{-\frac{2}{5}}^{\frac{2}{5}} \frac{ \mbox{d}x }{4+25^{2}}= \frac{1}{4+25^{2}}\int_{-\frac{2}{5}}^{\frac{2}{5}} 1 \mbox{d}x =\frac {1}{629}\left[ x\right]_{-\frac{2}{5}} ^{\frac{2}{5}}= \frac {1}{629}\left[\frac{2}{5}-\left( -\frac{2}{5} \right)\right]=\frac {1}{629} \cdot \frac{4}{5}=\frac{4}{3145}}\)

Definicja całki nieoznaczonej. F(x) to funkcja pierwotna (całka nieoznaczona), czyli całka funkcji f(x) którą szukamy.
\(\displaystyle{ \int f(x)=F(x) \Leftrightarrow F'(x)=f(x)}\)

W naszym przypadku mamy:
\(\displaystyle{ \int 1 \mbox{d}x =x+C \Leftrightarrow \left( x+C\right)'=1}\)

Zachodzi też wzór. Który mówi nam, że stałą spod całki możemy przenieść przed całkę i tylko liczymy całkę danej funkcji.
\(\displaystyle{ \int A\cdot f(x) \mbox{d}x =A\int f(x) \mbox{d}x}\)

Definicja całki oznaczonej. (F(x) jest to tzw. funkcja pierwotna, czyli całka nieoznaczona bez C).
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(x)\mbox{d}x = F(b)-F(a)}\)

W naszym przypadku.
\(\displaystyle{ \int_{-\frac{2}{5}}^{\frac{2}{5}}1 \mbox{d}x= x |_{-\frac{2}{5}}^{\frac{2}{5}}=\left[\frac{2}{5}-\left( -\frac{2}{5} \right)\right]=\frac{4}{5}}\)

Wystarczy teraz ten wynik przemnożyć przez stałą i mamy gotowy wynik tak jak to jest na górze.

[jaciel]

Dziekuje

[Qń]

Ale skądinąd wiadomo, że nie chodziło Ci wcale o tę całkę, tylko o całkę:
\(\displaystyle{ \int_{- \frac 25}^{\frac 25} \frac{dx}{4+25x^2}}\)

Q.

[yorgin]

\(\displaystyle{ \int_{- \frac 25}^{\frac 25} \frac{dx}{4+25x^2}}\)

To autor tematu odpowiada za treść zadania. Jeśli pisze bzdury, które dają się rozwiązać, to je rozwiązujemy. Jeśli powinno być co innego, powinien to zaznaczyć. Chociaż boję się tego drugiego, gdyż pojawią się funkcje cyklometryczne w wyniku, a autor o całkowaniu pojęcia za dużego nie miał...

[Qń]

To autor tematu odpowiada za treść zadania.

Zgadza się, a co więcej uważam za nieeleganckie jeśli treść zadania przepisana jest niechlujnie, bo w ten sposób autor tematu marnuje czas osób ofiarujących pomoc.

Q.