metoda przewidywań

[rooker]

Kiedy korzystając z tej metody podnoszę stopień wielomianu?

[Vardamir]

Co znaczy podnoszę stopień wielomianu?

[bryk]

Funkcja po prawej stronie postaci.\(\displaystyle{ f(x)=e ^{\alpha x} \sin(\beta x)}\)
Kiedy \(\displaystyle{ \alpha + \beta i}\) jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, mnożysz przewidywaną funkcję przez \(\displaystyle{ x ^{k}}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) to krotność pierwiastka wielomianu charakterystycznego.

W rr pierwszego rzędu będzie to mnożenie przez x, bo wielomian charakterystyczny jest stopnia pierwszego i sprawdzamy tylko, czy \(\displaystyle{ \alpha = -p}\)

[rooker]

Czyli sprawdzam zawsze czy pierwiastek sie powtarza tak? Jeśli jest inny to dobrze, jęsli sie powtarza to podwyzszam stopien wielomianu tak?

[Vardamir]

Za późno już na tłumaczenie własnymi słowami. Ale z tego uczyłem się do egzaminu.

... dentow.pdf

Strona 59 skryptu (60 w pdf). Metoda usprawiedliwionego zgadywania.

[rooker]

Wytlumaczone jest dobrze, ale nadal nie znalazlem odpowiedzi na jedno z moich pytań w przypadku kiedy prawa strona równania to np. cos2x, to pierwotnie zapisuje funkcje przewidywaną jako \(\displaystyle{ f(x)=A\cos 2x+B\sin 2x}\). Po chwili sprawdzam że 2i jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego.Zatem moją funkcją przwidywaną będzie:\(\displaystyle{ f(x)=(Ax+B)\sin 2x+(Cx+D)\cos 2x}\)?
Czy ktoś mógłby to potwierdzić? Czyli w przypadku kiedy pierwiastek się tak jakby powtarza to zwiększam po prostu stopień wielomianu?

-- 18 cze 2013, o 09:20 --

A kiedy np prawa równania strona równania to \(\displaystyle{ 5\cos x}\) i pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego jest np. 3+2i to wtedy też zamiast \(\displaystyle{ A\cos x+B\cos x}\) będe miał \(\displaystyle{ ( Ax+B)\cos x+(Ax+B)\sin x}\) ?
Potrzebuje konkretnej regułki, na razie myślę tak: że zmieniam stopień tylko wtedy kiedy kiedy pierwiastki się tak jakby powtarzają, (chodzi mi o pierwiastek z w.ch i prawa strona po zamianie na tak jakby pierwiastek)

-- 18 cze 2013, o 10:42 --

Aha i czy do metoda przewidywan mozna rozwiac rownanie , jesli po prawej stronie jest sinus hiperboliczny??

[Vardamir]

Wytlumaczone jest dobrze, ale nadal nie znalazlem odpowiedzi na jedno z moich pytań w przypadku kiedy prawa strona równania to np. \(\displaystyle{ \cos 2x}\), to pierwotnie zapisuje funkcje przewidywaną jako \(\displaystyle{ f(x)=A\cos 2x+B\sin 2x}\). Po chwili sprawdzam że 2i jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego.Zatem moją funkcją przwidywaną będzie:\(\displaystyle{ f(x)=(Ax+B)\sin 2x+(Cx+D)\cos 2x}\)?
Czy ktoś mógłby to potwierdzić? Czyli w przypadku kiedy pierwiastek się tak jakby powtarza to zwiększam po prostu stopień wielomianu?

\(\displaystyle{ \cos 2x}\) to część rzeczywista z \(\displaystyle{ f(x)=1\cdot e^{2ix}}\) , zatem przewidywanym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ Cx^ke^{2ix}}\) gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest krotnością pierwiastka \(\displaystyle{ 2i}\) w równaniu charakterystycznym. Natomiast \(\displaystyle{ C}\) bierze się stąd, że wielomian \(\displaystyle{ w(x)=1}\) stojący przy \(\displaystyle{ e^{2ix}}\) jest stopnia zerowego.

Teraz rozwiązujesz tak jak zawsze,. Na końcu z rozwiązania, które otrzymasz bierzesz część rzeczywistą i to będzie ostateczna odpowiedz.

W drugim przypadku mamy, część rzeczywistą z \(\displaystyle{ f(x)=5e^{ix}}\)

[kerajs]

Potrzebuje konkretnej regułki, na razie myślę tak: że zmieniam stopień tylko wtedy kiedy kiedy pierwiastki się tak jakby powtarzają, (chodzi mi o pierwiastek z w.ch i prawa strona po zamianie na tak jakby pierwiastek)

-- 18 cze 2013, o 10:42 --

Aha i czy do metoda przewidywan mozna rozwiac rownanie , jesli po prawej stronie jest sinus hiperboliczny??

Jeśli w całce szczególnej przewidywałbyś to samo co już pojawiło się w rozwiązaniu ogólnym to wtedy podnosisz stopień wielomianu. W wielomianie możesz pominąć tą część która już jest w całce ogólnej.

Metoda przewidywania stosowana jest gdy mamy wielomian, f. trygonometryczną (sin..., cos...), f wykładniczą oraz sumę i /lub iloczyn powyższych. Hiperboliczne niestety nie. Pozostaje uzmiennianie stałych.