Obliczyć całkę potrójną

[kaasia229]

Obliczyć \(\displaystyle{ \int\int\int_{V} z^{3}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2} dxdydz ,}\) gdzie \(\displaystyle{ V:= \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} : 4\leqslant x^{2} +y^{2}+z^{2}\leqslant 9 , 0 \leqslant y \leqslant \sqrt{3}x, 0\leqslant z \}}\). \
Otóz korzystam tutaj ze współrzędnych sferycznych i teraz mam takie pytanie dotyczące granic całkowania. Ja myślę, że będą one takie: \
\(\displaystyle{ 2 \leqslant r\leqslant 3 , 0\leqslant\theta\leqslant 2\pi,}\), a kąt fi będzie w przedziale \(\displaystyle{ \Big[ \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\Big].}\). Proszę o odpowiedź czy myślę dobrze??

[pyzol]

A jaki te podstawienie wygląda. Jest typowe jak tutaj ... ferycznych ?

[kaasia229]

Tak:)

[pyzol]

No to pierwsza sprawa \(\displaystyle{ z=r\sin\theta \ge 0 \Rightarrow \theta\in \left( 0;\frac{\pi}{2}\right)}\)
A skoro już to mamy, to dalej:
\(\displaystyle{ 0 \le r\cos\theta\sin\phi|:r\cos\theta
0 \le \sin\phi \Rightarrow \phi \in (0,\pi)}\)
I dalej:
\(\displaystyle{ \sin\phi \le \sqrt{3}\cos\phi|:2\\
\frac{1}{2}\sin\phi -\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \phi \le 0\\
\sin\frac{\pi}{6}\sin \phi-\cos\frac{\pi}{6}\cos\phi \le 0}\)
Korzystasz ze wzoru na sumę cosinusów i masz swoje ograniczenia.