równanie różniczkowe z ujemną potęgą

[mario54]

Dostaliśmy takie coś na kolokwium i chyba nikt nie wiedział jak to zrobić, w wolframie też jest dość dziwny wynik.

\(\displaystyle{ y'=\left( y+4x\right) ^{-2}}\)

[cosinus90]

Należy podstawić nową zmienną za wyrażenie w nawiasie i rozwiązać powstałe w ten sposób równanie Bernoulliego.

[mario54]

Nie wiem czy dobrze myślę.
\(\displaystyle{ y+4x=u \\ y=u-4x \\y'=u'-4 \\ \\ u'-4=u^{-2} \\ z=u^3 \\ z'=3u^2u' \\}\)
\(\displaystyle{ \frac{u'}{u^{-2}} + \frac{4}{u^{-2}}=1 \\}\)
\(\displaystyle{ u'u^2+4u^2=1 \\
\frac{1}{3}z'+4u^2=1 \\
\frac{dz}{du}=3-12u^2 \\
3\left( 1-4u^2\right)du=dz \\
3\left( u- \frac{4}{3}u^3 \right) +C=z}\)
i mam to przyrównać do \(\displaystyle{ u^3}\) ?

[Spektralny]

W jakim sensie przyrównać? \(\displaystyle{ u=y+4x}\) więc przynjamniej masz rozwiązanie dla \(\displaystyle{ y}\) w postaci uwikłanej.

[mario54]

Ok chyba rozumiem rzeczywiście tam była funkcja uwikłana.