Odległość punktu od podprzestrzeni rozpiętej przez wektory

[michael_13]

Niech \(\displaystyle{ X=R^3}\) będzie przestrzenią euklidesową z iloczynem skalarnym \(\displaystyle{ (x|y)=x^Ty}\). Oblicz odległość punktu \(\displaystyle{ x=[1,1,1]^T}\), od podprzestrzeni rozpiętej przez wektory \(\displaystyle{ u=[0,1,1]^T, v=[0,-1,1]^T}\)

Zeby obliczyć normę wektora w tej przestrzeni wykorzystujemy: \(\displaystyle{ ||x||= \sqrt{x | x}}\), ale jak obliczyć odległość między punktem a podprzestrzenią.

Jak sobie narysowałem to w układzie współrzędnych wyszło mi 1, ale ten sposób to nie rozwiązanie;p

Domyślam się że pewnie coś z wektorem prostopadłym ale nie wiem jak to ugryźć...

[Spektralny]

Szukasz więc \(\displaystyle{ \|x-Px\|}\) gdzie \(\displaystyle{ P}\) jest rzutem prostopadłym na tę płaszczyznę. Musisz najpierw znaleźć \(\displaystyle{ P}\). Szczęśliwie się składa, że podane wektory rozpnające tę podprzestrzeń są już prostopadłe.

EDIT: Porawiony wzór:
\(\displaystyle{ P = \tfrac{1}{2}\langle u,\cdot\rangle u+\tfrac{1}{2}\langle v,\cdot\rangle v.}\)

[michael_13]

\(\displaystyle{ P = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\langle u,\cdot\rangle u+\tfrac{1}{\sqrt{2}}\langle v,\cdot\rangle v.}\)

Skąd się wziął ten wzór, i co oznacza: \(\displaystyle{ \langle u,\cdot\rangle u}\) i jak wyliczyć \(\displaystyle{ \cdot}\) w tym wzorze, eh widzę że mam elementarne braki..

[Spektralny]

\(\displaystyle{ \langle \cdot, \cdot \rangle}\)

to moje oznaczenie iloczynu skalarnego. Ty chyba piszesz \(\displaystyle{ (\cdot | \cdot)}\).

A skąd taki wzór na rzut prostopadły? Możemy to zacząć dowodzić, że istotnie to daje nam co trzeba, ale to materiał pierwszego semestru algebry liniowej.

Dzielenie przez \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) bierze się stąd, że zarówno \(\displaystyle{ u}\) jak i \(\displaystyle{ v}\) mają taką normę, więc je (orto)normalizujemy.

[michael_13]

Ok to po kolei...
\(\displaystyle{ \langle \cdot, \cdot \rangle}\) to iloczyn skalarny więc \(\displaystyle{ \langle u,\cdot\rangle}\) w tej przestrzeni zgodnie z \(\displaystyle{ (x,y)=x^Ty}\) będzie: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}
0\\
-1\\
1
\end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ \left[?, ?, ?\right]}\)

Co do P to (orto)normalizujemy robi nam wektory jednostkowe ale i tak nadal nie widzę skąd ten wzór.

Pewnie i tak nikt nie uwierzy ale ja tego nie miałem (lub nie kojarzę bo wszędzie różne konwencje symboli są...) i nawet nie wiem gdzie zacząć szukać elementarnych podstaw z przykładami jak to ugryźć

[Spektralny]

Rzut \(\displaystyle{ P}\) działa na dowolnym wektorze \(\displaystyle{ y}\) według następującego wzoru:

\(\displaystyle{ \begin{array}{lcl}Py& = &\tfrac{1}{\sqrt{2}}\langle u,y\rangle u+\tfrac{1}{\sqrt{2}}\langle v,y\rangle v. \\ & = &(\tfrac{1}{\sqrt{2}}u^T y )\cdot u+(\tfrac{1}{\sqrt{2}}v^T y)\cdot v.\end{array}}\)

Nie miałeś przedmiotu który poruszał elementarną geometrię analityczną?

[michael_13]

ok to rozwiązujemy:
\(\displaystyle{ x=[1,1,1]^T}\), \(\displaystyle{ u=[0,1,1]^T}\), \(\displaystyle{ v=[0,-1,1]^T}\)

\(\displaystyle{ \|x-Px\|}\)
\(\displaystyle{ P = \tfrac{1}{2}\langle u,\cdot\rangle u+\tfrac{1}{2}\langle v,\cdot\rangle v.}\)
\(\displaystyle{ \begin{array}{lcl}Px& = &\tfrac{1}{2}\langle u,x\rangle u+\tfrac{1}{2}\langle v,x\rangle v \\ & = &(\tfrac{1}{2}u^T x )\cdot u+(\tfrac{1}{2}v^T x)\cdot v\end{array}}\)
\(\displaystyle{ = (\tfrac{1}{2} [0,1,1]^T \left[\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\right])\cdot\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1 \end{array}\right] + (\tfrac{1}{2} [0,-1,1]^T\left[\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\right])\cdot\left[\begin{array}{c} 0\\ -1\\ 1 \end{array}\right]=1 \left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1 \end{array}\right] + 0 \cdot\left[\begin{array}{c} 0\\ -1\\ 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1 \end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \|x-Px\| = \|\left[\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\right] - \left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1 \end{array}\right]\| = \|\left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right] \| = \sqrt{ [1,0,0] \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right] } = \sqrt{1} = 1}\)

... coś chyba źle wyszło

EDIT poprawione...
EDIT 2 poprawione kolejny raz

[Spektralny]

Przelicz to proszę jeszcze raz bo są błędy.

[michael_13]

przeliczyłem jeszcze raz, poprawiłem wyżej, jeśli nadal są błędy to pewnie wynikają ze złej techniki liczenia...

[Spektralny]

Nadal masz błąd. W obliczaniu "drugiego wektora" podstawiłeś \(\displaystyle{ u}\) zamiast \(\displaystyle{ v}\) i wyszło Ci niepoprawnie 0.

[michael_13]

ale ja w "drugim wektorze" podstawiłem \(\displaystyle{ v}\)

[Spektralny]

Wygląda więc ok. .

-- 15 cze 2013, o 22:46 --

Palnąłem byka, powinno być:


\(\displaystyle{ P = \tfrac{1}{2}\langle u,\cdot\rangle u+\tfrac{1}{2}\langle v,\cdot\rangle v.}\)

Najpierw powinienem był znormalizować wektory, a dopiero potem wstawiać.

[michael_13]

Poprawione według nowego wzoru, wyszło 1 czyli tak jak z mojego rysunku;d

Po lekturze podlinkowanego pdf wnioskuję że \(\displaystyle{ P= \frac{x \cdot u}{u \cdot u} \cdot u + \frac{x \cdot v}{v \cdot v} \cdot v}\)

PS. świetny pdf - mega zbliżony do mojego przypadku! Dzięki