Odległość punktów przestrzeni unormowanej X = C[0,1]

[michael_13]

Niech \(\displaystyle{ X=C[0,1]}\) będzie przestrzenią unormowaną ze standardową normą \(\displaystyle{ ||f|| = \sup\limits_{^{x\in [0,1]}}|f(x)|}\). Oblicz odległość punktów \(\displaystyle{ f(x)=1}\) i \(\displaystyle{ g(x)=x^2}\).

Domyślam się, że muszę policzyć \(\displaystyle{ ||f(x)-g(x)||}\) według podanego wzoru, czyli:
\(\displaystyle{ ||f(x)-g(x)|| = \sup\limits_{^{x\in [0,1]}}|f(x)-g(x)| = \sup\limits_{^{x\in [0,1]}}|1-x^2|}\) a to wyliczamy podstawiając górny zakres z \(\displaystyle{ \sup}\)? Czyli \(\displaystyle{ \sup\limits_{^{x\in [0,1]}}|1-x^2|=1-1^2=0}\)? Dobrze?

[Spektralny]

Twierdzisz, że \(\displaystyle{ 0}\) jest maksimum funkcji \(\displaystyle{ |1-x^2|}\)? Niedobrze. Znajdź maksimum funkcji \(\displaystyle{ h(x)=|1-x^2| = 1-x^2}\) swoją ulubioną metodą (np. przy pomocy rachunku różniczkowego) bądź narusyj tę funkcję na kartce i użyj szkolnej metody szukania wartości największej funkcji kwadratowej na danym przedziale. A najlepiej to odgadnij od razu, że największą wartością jest 1.