Topologia strzałki

[sneik555]

1. Wyjaśnij czy przedział \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\) z topologią podprzestrzeni strzałki jest przestrzenią metryzowalną i zwartą.
2. Czy podprzestrzenie \(\displaystyle{ A=\left\{ 0,1, \frac{1}{2},\frac{1}{3},... \right\}}\) i \(\displaystyle{ B=\left\{ 0,-1, -\frac{1}{2},-\frac{1}{3},... \right\}}\) prostej \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) z topologią strzałki są zwarte.

[Spektralny]

1. Nie jest zwarty, bo tylko przelczalne podzbiory strzałki mogą być zwarte. Przedział \(\displaystyle{ [0,1]}\) z topologią strzałki jest ośrodkowy, ale nie ma przeliczalnej bazy (nie spełnia drugiego aksjomatu przeliczalności), więc nie jest metryzowlany, bo w klasie przestrzeni metryzowalnych te dwa pojęcia się pokrywają.

2. \(\displaystyle{ B}\) tak (argument taki sam jak w zwykłej topologii euklidesowej), \(\displaystyle{ A}\) nie, bo jest dyskretne.

[Ciapciak]

2. \(\displaystyle{ B}\) tak (argument taki sam jak w zwykłej topologii euklidesowej), \(\displaystyle{ A}\) nie, bo jest dyskretne.

Chyba jest na odwrót? W \(\displaystyle{ B}\) można wziąć pokrycie zbiorami postaci \(\displaystyle{ left[frac{-1}{m} ,frac{-1}{m+1}
ight)cap B}\), no i \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\}}\). Wtedy ono nie ma podpokrycia skończonego.

Natomiast w \(\displaystyle{ A}\) jest ok.

[Spektralny]

Tak, zawsze mi się myli kierunek strzałek.