Trzy zadania do spr

[Thor1990]

Mam trzy zadanka:
1.Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w losowej permutacji
ciągu liczb \(\displaystyle{ 1, 2, 3, …, n}\), żadna z nich nie pozostanie na swoim
miejscu?
2. Grupa osób złożona z \(\displaystyle{ n}\)-par małżeńskich zajmuje losowo miejsca
za okrągłym stołem. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że żaden
mąż nie siądzie obok swojej żony?
3. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że liczba losowo utworzona
z siedmiu cyfr \(\displaystyle{ 1, 2, 2, 4, 6, 6, 6}\) jest większa od \(\displaystyle{ 3 000 000}\)?

Rozw:
Ad1:
Przy założeniu, że są to permutacje bez powtórzeń, prawdopodobieństwo wynosi:
\(\displaystyle{ p=n!}\)

Przy założeniu, że są to permutacje z powtórzeniami, oraz niech \(\displaystyle{ A}\) oznacza zbiór złożony z \(\displaystyle{ k}\) różnych elementów \(\displaystyle{ A={a _{1} , a _{2} , ..., a _{n}}}\). Permutację \(\displaystyle{ n}\)-elementową z powtórzeniami, w której elementy \(\displaystyle{ a_{1} , a _{2} , ..., a _{k}}\) powtarzają się odpowiednio \(\displaystyle{ n _{1}, n _{2}, ..., n _{k}}\) razy, \(\displaystyle{ n _{1} + n _{2} +...+ n _{k}=n}\), jest każdy \(\displaystyle{ n}\)-wyrazowy ciąg, w którym elementy \(\displaystyle{ a_{1} , a _{2} , ..., a _{k}}\) powtarzają się podaną \(\displaystyle{ n}\) razy,
\(\displaystyle{ p= \frac{n!}{n _{1}! \cdot n _{2}! \cdot ... \cdot n_{k}! }}\)

Ad2:
\(\displaystyle{ \left( n-1 \right)}\) - przypadek, w którym mężowie siądą obok siebie.
\(\displaystyle{ p= \frac{n!- \left( n-1 \right) !}{n!}=1- \frac{1}{n}}\)

Załóżmy, że mamy 10 par:
\(\displaystyle{ n = 10}\)

\(\displaystyle{ p= \frac{10!- \left( 10-1 \right) !}{10!} = 1- \frac{1}{10}=0.9}\)

Ad3:
\(\displaystyle{ A^{4} _{1}}\) - w pierwszym losowaniu wypadnie \(\displaystyle{ 4}\)

\(\displaystyle{ A ^{6} _{1}}\) - w pierwszym losowaniu wypadnie \(\displaystyle{ 6}\)

Prawdopodobieństwa jakiego szukamy, to:

\(\displaystyle{ A=A ^{4} _{1} \cup A ^{6} _1{}}\)

\(\displaystyle{ P \left( A \right) = P \left( A ^{4} _{1} \cup A ^{6} _{1} \right) = P \left( A ^{4} _{1} \right) + P \left( A ^{6} _{1} \right) - P \left( A ^{4} _{1} \cap A ^{4} _{1} \right) = \frac{1}{7} + \frac{3}{7} - P \left( A^{6} _{1} \right) \cdot P \left( A ^{4} _{1} | A ^{6} _{1} \right) = \frac{4}{7} - \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2}}\)

[lesmate]

Co do pierwszego: Ta permutacja jest bez powtórzeń.
a \(\displaystyle{ n!}\) to ilość wszystkich permutacji, a nie prawdopodobieństwo

[marcin77marcin]

Ta część rozważań odnoście permutacji z powtórzeniami też jest bez sensu.

Ad 3.
Źle
Weź pod uwagę że cyfra 6 występuje w tym zbiorze 3 razy.


PS
Mam wrażenie że mylisz pojęcie prawdopodobieństwa z ilością wszystkich możliwych zdarzeń.
Prawdopodobieństwo może przyjmować tylko wartości od 0 do 1.