Przykłady przestrzeni metrycznych

[sneik555]

Podaj przykład:
1. Przestrzeni metrycznej z ciągiem ograniczonym bez podciągu Cauchy'ego.
2. Przestrzeni metrycznej z ciągiem ograniczonym bez podciągu zbieżnego.
3. Przestrzeni metrycznej z ciągiem Cauchy'ego, który nie ma podciągu zbieżnego.

4. Uzasadnij, że w każdej przestrzeni metrycznej ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy'ego.

[Spektralny]

1. W \(\displaystyle{ \ell_\infty}\) (przestrzeni ograniczonych ciągów liczbowych z metryką supremum) rozważ ciag \(\displaystyle{ (e_n)_{n=1}^\infty}\), gdzie \(\displaystyle{ e_n}\) to ciąg który jest wszędzie zerowy poza \(\displaystyle{ n}\)-tym miejscem, na którym przyjmuje wartość 1.

2. j/w

3. Przedział \(\displaystyle{ (0,1)}\) i ciąg \(\displaystyle{ (\tfrac{1}{n})_{n=2}^\infty}\)

4. Gdzie leży problem?

[sneik555]

No nie mam pojęcia jak sie za to 4 zabrać..

[Spektralny]

Porównaj dwie definicje.

[sneik555]

Przemęczenie materiału. Sory za głupie pytanie I dzięki za pomoc.