Przekształcenia ciągłe

[sneik555]

Mam takie podpunkty z zadan i nie wiem za bardzo jak sie za to zabrać...
1.Niech \(\displaystyle{ K=\left( 0,1\right) \times \left( 0,1\right)}\)
Czy istnieje przekształcenie ciągłe z \(\displaystyle{ \overline K}\) na \(\displaystyle{ K}\)?
2. Czy każdą przestrzeń metryczną można przekształcić w sposób ciągły w przedział euklidesowy \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\)?
3. Czy każda przestrzeń metryczna spójna jest obrazem ciągłym przedziału euklidesowego \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\)?
4. Czy istnieją przekształcenia ciągłe i homeomorfizmy:
(a) z przedziału \(\displaystyle{ left[ 1,2
ight)}\) na przedział \(\displaystyle{ \left( 1,2\right)}\)
(b) z przedziału \(\displaystyle{ \left( 1,2\right)}\) na przedział \(\displaystyle{ left[ 1,2
ight)}\)

[yorgin]

Wskazówki:

1. Zwartość jest zachowywana przez odwzorowania ciągłe.
2. Przekształcenie ma być surjekcją?
3. Patrz - 1.
4. Homeomorfizmy - nie (przyjrzyj się otwartości zbioró). Ciągłe - tylko b) (rysunek!)

[brzoskwinka1]

Wskazówki:
4. Homeomorfizmy - nie (przyjrzyj się otwartości zbioró). Ciągłe - tylko b) (rysunek!)

Przykład odwzorowania ciągłego \(\displaystyle{ varphi :[0,1)
ightarrow (0,1)}\)
\(\displaystyle{ \varphi (\xi ) =\begin{cases} \frac{1}{2} \mbox{ dla } \xi =0 \\ \frac{1}{2} +\frac{1}{2} \cdot \xi\cdot \sin \frac{1}{1-\xi} \mbox{ dla } 0<\xi <1 \end{cases}}\)

[sneik555]

Dzięki za odpowiedzi;)
Jeszcze Ad.2 "w przedział euklidesowy" nie "na przedział euklidesowy" więc niekoniecznie ma to być surjekcja:)

[yorgin]

Wskazówki:
4. Homeomorfizmy - nie (przyjrzyj się otwartości zbioró). Ciągłe - tylko b) (rysunek!)

Przykład odwzorowania ciągłego \(\displaystyle{ varphi :[0,1)
ightarrow (0,1)}\)
\(\displaystyle{ \varphi (\xi ) =\begin{cases} \frac{1}{2} \mbox{ dla } \xi =0 \\ \frac{1}{2} +\frac{1}{2} \cdot \xi\cdot \sin \frac{1}{1-\xi} \mbox{ dla } 0<\xi <1 \end{cases}}\)

Faktycznie, zgubiłem gdzieś swoją wyobraźnię.

Dzięki za odpowiedzi;)
Jeszcze Ad.2 "w przedział euklidesowy" nie "na przedział euklidesowy" więc niekoniecznie ma to być surjekcja:)

Tak. Wystarczy wziąć odwzorowanie stałe.