Oblicz ekstrema funkcji

[gerg]

Kombinujęi nie mogę do niczego dojść.

Mam dwie funkcje.

a) \(\displaystyle{ f(x)= \frac{ x^{3} - 8}{x^{2} + x - 6}}\)

b) \(\displaystyle{ f(x)= \frac{ x^{3} + 8}{x^{2} - x - 6}}\)

Robie w ten sposób, że liczę pochodną funkcji. No to biorę wzór na róźnicę, rozbijam, liczę i dochodzę do takiej postaci w b)

\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{x^{4} - 2x^{3} -18x^{2} - 16x +8}{(x^{2} - x - 6)^{2}}}\)

sprawdzałem kilkakrotnie.
W a) wychodzi podobna postać.
I nie wiem jak to dalej pociągnąć.

Wiem, że pochodną należy przyrównać do zera. Ale jak obliczyć takie równanie (biorąc pod uwagę, że czas na to zadanie na kolosie = 10 min)

[kacper218]

\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{3x^2(x^2-x-6)-(x^3+8)(2x-1)}{(x^2-x-6)^2}=\frac{3x^2(x-3)(x+2)-(x+2)(x^2-2x+4)(2x-1)}{[(x-3)(x+2)]^2}=\frac{(x+2)[3x^3-9x^2-2x^3+x^2+4x^2-2x-8x+4]}{[(x-3)(x+2)]^2}=
\frac{x^3-4x^2-10x+4}{(x-3)^2(x+2)}=\frac{(x+2)(x^2-6x+2)}{(x-3)^2(x+2)}=\frac{x^2-6x+2}{(x-3)^2}}\)

Myślę, że teraz będzie łatwiej

[gerg]

Rewelacja!

Wielkie dzięki za pomoc. Czyli pewnie drugi przykład analogicznie. Zaraz sobie to poprzeliczam

-- 13 czerwca 2013, 11:22 --

Mógłby ktoś jeszcze sprawdzić czy dobrze doliczone?

\(\displaystyle{ \frac{x^2-6x+2}{(x-3)^2}=0}\)

z tego pierwiastki to

\(\displaystyle{ x_{1}= 3 + \sqrt{7}}\)

\(\displaystyle{ x_{2}= 3 - \sqrt{7}}\)

i ekstrema wychodzą w tych dwóch punktach?

[yorgin]

Warto pamiętać o dziedzinie w obu przykładach...

[kacper218]

W obu punktach otrzymujemy ekstremum lokalne. W jednym z nich maksimum, a w drugim minimum.