Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
addmir
Użytkownik
Posty: 210 Rejestracja: 10 paź 2007, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: sprzed monitora
Podziękował: 53 razy
Pomógł: 23 razy
Post
autor: addmir » 12 cze 2013, o 09:49
Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchnią zadaną równaniem
\(\displaystyle{ (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=x^{2}+y^{2}}\) .
Moje rozwiązanie:
Czy jest to poprawne?
pyzol
Użytkownik
Posty: 4346 Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy
Post
autor: pyzol » 12 cze 2013, o 11:00
Dlaczego \(\displaystyle{ -(x^{2}+y^{2}) \le z \le (x^{2}+y^{2})}\) , skoro wcześniej miałeś ograniczenie:
\(\displaystyle{ z^{2} = \sqrt{x^{2}+y^{2}}-(x^{2}+y^{2}) \\
z^2=r-r^2\\
z=\pm\sqrt{r-r^2}}\)
?
addmir
Użytkownik
Posty: 210 Rejestracja: 10 paź 2007, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: sprzed monitora
Podziękował: 53 razy
Pomógł: 23 razy
Post
autor: addmir » 12 cze 2013, o 18:32
Hm, musiałem się machnąć.
Czyli musiałoby być:
\(\displaystyle{ \iiint\limits_{\Omega}^{} \mbox{d}x\mbox{d}y\mbox{d}z\\ \Omega:\ \begin{cases} z^{2} = \sqrt{x^{2}+y^{2}}-(x^{2}+y^{2}) \\ 0 \le (x^{2}+y^{2}) \le 1 \\ -\sqrt{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-(x^{2}+y^{2})} \le z \le \sqrt{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-(x^{2}+y^{2})} \end{cases}\\
\iiint\limits_{\Omega}^{} \mbox{d}x\mbox{d}y\mbox{d}z \stackrel{ \substack{ x = r \cos \alpha , r \in [0;1] \\ y=r\sin \alpha , \alpha \in [0; 2 \pi ) \\ z = z , z \in [-\sqrt{r-r^2};\sqrt{r-r^2}] } }{=} \int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{2 \pi} \int\limits_{-\sqrt{r-r^2}}^{\sqrt{r-r^2}} r \mbox{d}z\mbox{d}\alpha\mbox{d}r = 4\pi\int\limits_{0}^{1} r\sqrt{r-r^2} \mbox{d}r}\)
Wychodzi mi takie cuś i za bardzo nie wiem jak tą całkę policzyć.
pyzol
Użytkownik
Posty: 4346 Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy
Post
autor: pyzol » 13 cze 2013, o 13:27
Przy sferycznych wyjdzie nieco lepiej.