Ciągłość funkcji z sinusem

[Ljosberinn]

Pewnie już taki temat był ale trudno znaleźć wśród tylu tytułów.
Zbadać ciągłość funkcji dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\) i \(\displaystyle{ f(0)=1}\)

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{\sin x} {x}}\)

Staram się uzyskać jakąś postać taj funkcji aby podstawić za \(\displaystyle{ x}\) liczbę zero i uzyskać \(\displaystyle{ 1}\) ale mimo prób nic nie uzyskałem.

[Spektralny]

To zadanie pyta Cię czy

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1.}\)

Odpowiedź brzmi tak.

PS. Do czego chciałeś podstawiać 0 skoro miałbyś dzielenie przez 0?

[Ljosberinn]

Wydaje mi się, że zadanie pyta również czy \(\displaystyle{ f(0)=1}\) ? A jeśli podstawisz za x 0 to f(x)=0/0 a nie 1.

Analogia z innego zadania z ciągłości będącego w podręczniku tuż nad tym z sin(x)/(x): \(\displaystyle{ \frac{x^2-25} {x+5}}\)\(\displaystyle{ =\frac{(x-5)(x+5)} {x+5}}\)\(\displaystyle{ =x-5}\) i potem jak podstawisz -5 to dostajesz -10 i funkcja ma granicę w punkcie -5 i jest ona równa f(-5)=-10 tak jak podaje definicja ciągłości.

To zadanie z sinusem jest z Krysickiego i Włodarskiego i założenie \(\displaystyle{ lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1.}\) jest podane we wstępie teoretycznym. Chyba, zbadanie z tej ciągłości nie polega tylko na tym aby porównać to z tym założeniem ?

[Spektralny]

Definicja Twojej funkcji nakłada warunek \(\displaystyle{ f(0)=1}\), więc przyjmuje ona wartośc 1 w zerze czy tego chcesz czy nie. Masz sprawdzić, czy jest ona w nim ciągła, tj. czy

\(\displaystyle{ f(0)=\lim_{x\to 0}f(x)}\)

Tak istotnie jest.

Z drugiej strony, funkcja \(\displaystyle{ g}\) dana wzorem

\(\displaystyle{ g(x) = \tfrac{x^2-25}{x+5}}\)

nie jest ani ciągła ani nieciągła w -5, bo -5 nie należy do dziedziny tej funkcji a ciągłość definiujemy tylko w punktach dziedziny!

Podobnie, tangens jest funkcją ciągłą, bo jest ciągły w każdym punkcie swojej dziedziny. To, że dziedzina nie jest spójna to już nie nasz problem.

i założenie \(\displaystyle{ lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1.}\)

To nie jest żadne założenie, to twierdzenie.

Chyba, zbadanie z tej ciągłości nie polega tylko na tym aby porównać to z tym założeniem ?

Badanie ciągłości w punkcie polega na sprawdzeniu definicji ciągłości w punkcie.

[Ljosberinn]

To dziwne, bo z tyłu w odpowiedziach stoi, że \(\displaystyle{ g(x) = \tfrac{x^2-25}{x+5}}\) jest ciągła dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\) i dla \(\displaystyle{ sin(x)/(x)}\) również ciągła dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\)

Czyli ogólnie w tego typu zadaniach jeśli mam podane założenia, że \(\displaystyle{ x\neq a}\) i \(\displaystyle{ f(a)=b}\) to sprawdzam czy istnieje granica w punkcie \(\displaystyle{ a}\) nie troszcząc się o to czy po podstawieniu do wzoru funkcji \(\displaystyle{ a}\) dostanę \(\displaystyle{ f(a)=b}\) ?

[Spektralny]

To dziwne, bo z tyłu w odpowiedziach stoi, że \(\displaystyle{ g(x) = \tfrac{x^2-25}{x+5}}\) jest ciągła dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\) i dla \(\displaystyle{ sin(x)/(x)}\) również ciągła dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\)

Te funkcje są ciągłe tam gdzie są określone. Ponadto, można je (jednoznacznie) rozszerzyć do funkcji ciągłych na całym \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), i zapewne to autor odpowiedzi miał na myśli.

Czyli ogólnie w tego typu zadaniach jeśli mam podane założenia, że \(\displaystyle{ x\neq a}\) i \(\displaystyle{ f(a)=b}\) to sprawdzam czy istnieje granica w punkcie \(\displaystyle{ a}\) nie troszcząc się o to czy po podstawieniu do wzoru funkcji \(\displaystyle{ a}\) dostanę \(\displaystyle{ f(a)=b}\) ?

Napiszę ostatni raz. Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ a}\) należącym do dziedziny \(\displaystyle{ f}\), gdy

\(\displaystyle{ f(a)=\lim_{x\to a}f(x),}\)

a więc musisz porównać zadaną wartość z wartością odpowiedniej granicy.

[Kasik22]

Ljosberinn'ie \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1}\) to prawda że jest to twierdzenie jak powiedział Spektralny, ale warto podkreślić, zauważyć że nie ważne jaką postać przyjmuje \(\displaystyle{ x}\) tzn może przyjmować w tym wypadku różne postacie (np \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\))ale najważniejsze jest by to co stoi przy \(\displaystyle{ sin}\) było równe temu co znajduje się w mianowniku.
nie mniej jednak w tym wypadku \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1}\) jak masz samego \(\displaystyle{ x}\) możesz skorzystać również z tw del'Hospitala bo \(\displaystyle{ sinx}\) i \(\displaystyle{ x}\) są funkcjami różniczkowalnymi i
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = \frac{0}{0} = \lim_{x\to 0}\frac{(\sin x)'}{(x)'} = \lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=1}\)

[Ljosberinn]

Napiszę ostatni raz. Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ a}\) należącym do dziedziny \(\displaystyle{ f}\), gdy

\(\displaystyle{ f(a)=\lim_{x\to a}f(x),}\)

a więc musisz porównać zadaną wartość z wartością odpowiedniej granicy.

Nie jest dla mnie tylko jasne dlaczego zadanie mnie pyta czy \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1}\), jeśli zero nie należy do dziedziny funkcji i nie powinno nas interesować a jedynie pozostałe x. Ciągłość przecież badamy dla punktów należących do dziedziny funkcji (tak jak napisałeś). Ważne, że jest ciągła dla pozostałych x różnych od zera więc po co liczyć tę granicę ?

Przepraszam jeśli jestem upierdliwym i używam mało precyzyjnych i odpowiednich określeń oraz piszę trochę nieporadnie. Mam wykształcenie w małym stopniu związane z matematyką (bardziej biol-chem). W wolnym czasie rozwiązuje zadania matematyczne z czystej ciekawości. Można powiedzieć, że jest to moje nowe zainteresowanie nie związane z jakimiś praktycznymi celami. Po prostu bardzo przyjemnie odkrywa mi się ten "nowy świat". Teraz chcę rozwiązać wszystkie zadania z Krysickiego i Włodarskiego (tylko ten podręcznik na razie posiadam) ale z niektórymi nie daje sobie rady i to forum stanowi dla mnie bardzo dużą pomoc.

[Spektralny]

Ależ należy, bo funkcja \(\displaystyle{ f}\) została w zerze określona warunkiem

\(\displaystyle{ f(0)=1}\).

Gdyby napisali \(\displaystyle{ f(0)=50000}\), to nie byłaby wówczas ciągła.

[Ljosberinn]

\(\displaystyle{ g(x) = \tfrac{x^2-25}{x+5}}\)
W powyższym przykładzie funkcja też jest określona dla -5 , mianowicie: \(\displaystyle{ f(-5)=-10}\)

A pisałeś, że:

Z drugiej strony, funkcja \(\displaystyle{ g}\) dana wzorem

\(\displaystyle{ g(x) = \tfrac{x^2-25}{x+5}}\)

nie jest ani ciągła ani nieciągła w -5, bo -5 nie należy do dziedziny tej funkcji a ciągłość definiujemy tylko w punktach dziedziny!

[Spektralny]

Jakim sposobem dokonujesz tego obliczenia mając 0 = -5 + 5 w mianowniku?

[Ljosberinn]

Taki jest warunek w przykładzie po prostu: \(\displaystyle{ x\neq -5}\) i \(\displaystyle{ f(-5)=-10}\). Tak samo jak dla przykładu \(\displaystyle{ f(x)=\frac{sin x} {x}}\) są podane warunki \(\displaystyle{ x\neq 0}\) i \(\displaystyle{ f(0)=1}\).

Dodatkowo tak przekształcam: \(\displaystyle{ =\frac{(x-5)(x+5)} {x+5}}\) i dostaje po skróceniu: \(\displaystyle{ x-5}\). Podstawiam -5 i dostaję -10.

[Spektralny]

Taki jest warunek w przykładzie po prostu: \(\displaystyle{ x\neq -5}\) i \(\displaystyle{ f(-5)=-10}\). [/latex].

Jeżeli to jest podane w treści zadania, to okej.

[Ljosberinn]

To kiedy x należy do dziedziny? Czy można uznać, że należy jeśli funkcja określona w punkcie x ma jakąś wartość ?
Jeden warunek zakłada, że \(\displaystyle{ x\neq -5}\)(jakoby -5 nie należało do dziedziny) a drugi \(\displaystyle{ f(-5)=-10}\) a pisałeś,że skoro funkcja jest określona warunkiem w danym x to ten x należy do dziedziny. Nie rozumiem, przyznam się.

[Spektralny]

Ale czego nie rozumiesz? Oto Twoja funkcja:

\(\displaystyle{ f(x) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{x^2-25}{x-5},&\mbox{ gdy }x\neq -5\\ -10, & \mbox{ gdy }x=-5\end{array} \right.}\)

Jak widać, jest określona dla każdego \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}}\).