Okrąg opisany

[sudolineczka]

Witam!

Na trójkącie ABC, w którym |AC| = |BC|, opisano okrąg o środku O i promieniu R = 20 cm. Wiedząc, że miara kąta AOB wynosi 120 stopni, oblicz pole trójkąta ABC oraz długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Rozważ dwa przypadki.

miara kąta ACB jest równa połowie miary kąta AOB, czyli wynosi 60 stopni. pierwszy przypadek rozpatrzyłam sama - w tym przypadku jest to trójkąt równoboczny i wszystko ładnie wychodzi. drugi przypadek ma być trójkątem rozwartokątnym, ale nie wiem dlaczego i jak to policzyć. pomoże ktoś?

[lukasz1804]

W drugim przypadku \(\displaystyle{ |\angle ACB|=\frac{1}{2}(360^o-120^o)=120^o}\) (punkt \(\displaystyle{ O}\) leży na zewnątrz trójkąta). Stąd i z twierdzenia sinusów możesz obliczyć \(\displaystyle{ |AB|}\). Długość ramion trójkąta możesz teraz wyznaczyć z twierdzenia kosinusów (lub z definicji sinusa/kosinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym - dzieląc trójkąt wzdłuż wysokości opuszczonej z \(\displaystyle{ C}\), na dwa przystające trójkąty prostokątne).
Pole trójkąta obliczysz prosto ze wzoru, jako połowa iloczynu długości ramion i sinusa kąta zawartego między nimi.
Mając dane pole i wszystkie długości boków trójkąta znajdź, na podstawie odpowiedniego wzoru, długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt.

[Sherlock]

Może rysunek naprowadzi na rozwiązanie

[pranxter]

Witam,
Odświeżam temat bo właśnie trafiłem na to zadanie. Drugi przypadek można rozwiązać o wiele prościej.
Z rysunku widać, że wysokość trójkąta opuszczona na AB wynosi \(\displaystyle{ h _{2} = R - r = 10}\).
Skoro trójkąt ma identyczną podstawę jak w I przypadku, a jego wysokość jest 3 razy mniejsza, to pole także będzie 3 razy mniejsze, czyli \(\displaystyle{ P _{2} = 100 \sqrt{3}}\)