Objętość przecięcia cylindrów

[addmir]

Znajdź objętość przecięcia dwóch cylindrów \(\displaystyle{ C_{1} = \{(x,y,z): x^{2}+y^{2} \le r^{2}\}}\) oraz \(\displaystyle{ C_{2}=\{(x,y,z):x^{2}+z^{2} \le r^2\}.}\)

Jak się za to zabrać?

[Ser Cubus]

narysuj, zrzutuj na płaszczyznę, wyznacz obszar całkowania, wyznacz funkcję ograniczające z góry i z dołu i tyle. No i gdzieś tam pewnie współrzędne biegunowe się pojawią

[addmir]

Ja sobie mogę tę moją bryłę rozbić na 8 mniejszych symetrycznych części. Wtedy
\(\displaystyle{ 8\iiint\limits_{\Omega}^{}1dxdydz \\
z \in [0;r] \\
x \in [0;\sqrt{r^2-z^2}] \\
y \in [0; \sqrt{r^2 - z^2}] \\

8\iiint\limits_{\Omega}^{}1dxdydz = 8 \int\limits_{0}^{r} \int\limits_{0}^{\sqrt{r^2-z^2}} \int\limits_{0}^{\sqrt{r^2-z^2}}dxdydz = \frac{16}{3} r^3}\)

Dobrze to jest?