Objętość bryły ograniczonej powierzchnią

[addmir]

Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchnią zadaną równaniem \(\displaystyle{ (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=x^{2}+y^{2}}\).

Moje rozwiązanie:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=x^{2}+y^{2} \Rightarrow z^{2} = \sqrt{x^{2}+y^{2}}-(x^{2}+y^{2}) \Rightarrow 0 \le (x^{2}+y^{2}) \le 1 \wedge -(x^{2}+y^{2}) \le z \le (x^{2}+y^{2}) \\

\iiint\limits_{\Omega}^{} \mbox{d}x\mbox{d}y\mbox{d}z\\
\Omega:\
\begin{cases} z^{2} = \sqrt{x^{2}+y^{2}}-(x^{2}+y^{2}) \\ 0 \le (x^{2}+y^{2}) \le 1 \\ -(x^{2}+y^{2}) \le z \le (x^{2}+y^{2})
\end{cases}\\}\)
Stosujemy współrzędne walcowe:
\(\displaystyle{ \iiint\limits_{\Omega}^{} \mbox{d}x\mbox{d}y\mbox{d}z \stackrel{ \substack{ x = r \cos \alpha , r \in [0;1] \\ y=r\sin \alpha , \alpha \in [0; 2 \pi ) \\ z = z , z \in [-r;r] } }{=} \int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{2 \pi} \int\limits_{-r}^{r} r \mbox{d}z\mbox{d}\alpha\mbox{d}r = \int\limits_{0}^{1} 4 \pi r^{2} \mbox{d}r = \frac{4}{3}\pi}\)

Czy jest to poprawne?

[pyzol]

Dlaczego \(\displaystyle{ -(x^{2}+y^{2}) \le z \le (x^{2}+y^{2})}\), skoro wcześniej miałeś ograniczenie:
\(\displaystyle{ z^{2} = \sqrt{x^{2}+y^{2}}-(x^{2}+y^{2}) \\
z^2=r-r^2\\
z=\pm\sqrt{r-r^2}}\)
?

[addmir]

Hm, musiałem się machnąć.

Czyli musiałoby być:
\(\displaystyle{ \iiint\limits_{\Omega}^{} \mbox{d}x\mbox{d}y\mbox{d}z\\ \Omega:\ \begin{cases} z^{2} = \sqrt{x^{2}+y^{2}}-(x^{2}+y^{2}) \\ 0 \le (x^{2}+y^{2}) \le 1 \\ -\sqrt{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-(x^{2}+y^{2})} \le z \le \sqrt{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-(x^{2}+y^{2})} \end{cases}\\

\iiint\limits_{\Omega}^{} \mbox{d}x\mbox{d}y\mbox{d}z \stackrel{ \substack{ x = r \cos \alpha , r \in [0;1] \\ y=r\sin \alpha , \alpha \in [0; 2 \pi ) \\ z = z , z \in [-\sqrt{r-r^2};\sqrt{r-r^2}] } }{=} \int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{2 \pi} \int\limits_{-\sqrt{r-r^2}}^{\sqrt{r-r^2}} r \mbox{d}z\mbox{d}\alpha\mbox{d}r = 4\pi\int\limits_{0}^{1} r\sqrt{r-r^2} \mbox{d}r}\)

Wychodzi mi takie cuś i za bardzo nie wiem jak tą całkę policzyć.

[pyzol]

Przy sferycznych wyjdzie nieco lepiej.