dwa szeregi

[Czeczot]

Proszę o pomoc z takim zadaniem

szereg \(\displaystyle{ a_1+a_2+....}\) o wyrazach dodatnich jest zbieżny. Zbadać zbieżność szeregów

1. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{\sqrt{a_n}}{n}}\)
2. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\sqrt[k]{a_{n+1}a_{n+2} \cdot ... \cdot a_{n+k}}}\)

[Spektralny]

Zastosuj do pierwszego .

[pyzol]

Wczoraj podawałeś, że jeśli szereg jest zbieżny, to ciąg \(\displaystyle{ na_n\to 0}\). To też możnaby wykorzystać.

[Spektralny]

Wczoraj podawałeś, że jeśli szereg jest zbieżny, to ciąg \(\displaystyle{ na_n\to 0}\). To też możnaby wykorzystać.

Ale szereg \(\displaystyle{ \textstyle \sum_{n=1}^\infty \sqrt{a_n}}\) nie musi być zbieżny. Przykład to \(\displaystyle{ a_n = \tfrac{1}{n^2}}\).

Czeczot, to drugiego szeregu zastosuj oraz fakt, że szeregi zbieżne są .

[Rumek]

W uproszczonej wersji:
Jeżeli \(\displaystyle{ \left(a_n\right)_{n\in\NN}}\) oraz \(\displaystyle{ \left(b_n\right)_{n\in\NN}}\) są ciągami takimi, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n^2 < \infty}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_n^2 < \infty}\) to \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}|a_nb_n| < \infty}\) .

Dowód opiera się na tym, że dla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN}\) zachodzi \(\displaystyle{ (|a_n|+|b_n|)^2 \ge 0}\) lub równoważnie \(\displaystyle{ |a_nb_n| \le \frac{a_n^2+b_n^2}{2}}\). Mamy więc

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n|a_kb_k| \le \frac{1}{2}\left(\sum_{k=1}^na_k^2 + \sum_{k=1}^nb_k^2\right) \le \frac{1}{2}\left(\sum_{n=1}^{\infty}a_n^2 + \sum_{n=1}^{\infty}b_n^2\right)}\)

Ostatnia nierówność to twierdzenie o zachowaniu nierówności w granicy.

Skoro u Ciebie są wyrazy dodatnie to można pominąć moduł i przyjmujesz \(\displaystyle{ a_n = \sqrt{a_n}}\) oraz \(\displaystyle{ b_n = \frac{1}{n}}\) .

[pyzol]

Z tego, że \(\displaystyle{ na_n\to 0}\), to istnieje takie \(\displaystyle{ n_0}\), że dla \(\displaystyle{ n>n_0}\) spełniona jest nierówność: \(\displaystyle{ a_n<\frac{1}{n}}\). Skoro tak, to oba szeregi możemy sobie oszacować.

[Czeczot]

Czeczot, to drugiego szeregu zastosuj oraz fakt, że szeregi zbieżne są .

tzn. chodzi Ci o coś takiego \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\sqrt[k]{a_{n+1}a_{n+2} \cdot ... \cdot a_{n+k}} \le \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{a_{n+1}+...+a_{n+k}}{k}}\) a ten poprawej z twierdzenia Cesaro i z założenia jest zbieżny czyli z porównawczego zbieżny jest szereg zadany, tak?

[Spektralny]

tzn. chodzi Ci o coś takiego \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\sqrt[k]{a_{n+1}a_{n+2} \cdot ... \cdot a_{n+k}} \le \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{a_{n+1}+...+a_{n+k}}{k}}\) a ten poprawej z twierdzenia Cesaro i z założenia jest zbieżny czyli z porównawczego zbieżny jest szereg zadany, tak?

Najlepiej samemu wykazać zbieżność prawej strony. Zauważ, że ciąg \(\displaystyle{ (a_n)_{n=1}^\infty}\) jest od pewnego miejsca nierosnący. (Przesadziłem tam wcześniej z tą sumowalnością w sensie Cesàro.)

[Czeczot]

czyli

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\sqrt[k]{a_{n+1}a_{n+2} \cdot ... \cdot a_{n+k}} \le \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{a_{n+1}+...+a_{n+k}}{k} = \sum_{n=1}^{N}\frac{a_{n+1}+...+a_{n+k}}{k}+\sum_{n=N+1}^{ \infty }\frac{a_{n+1}+...+a_{n+k}}{k} \le \sum_{n=1}^{N}\frac{a_{n+1}+...+a_{n+k}}{k}+\sum_{n=N+1}^{ \infty }\frac{ka_{n+1}}{k}=\sum_{n=1}^{N}\frac{a_{n+1}+...+a_{n+k}}{k}+\sum_{n=N+1}^{ \infty }a_{n+1}}\)

gdzie \(\displaystyle{ N}\) jest stałą, że dla \(\displaystyle{ n>N}\) ciąg jest nierosnący? a swoją drogą czemu \(\displaystyle{ (a_n)_{n=1}^\infty}\) jest nierosnący od pewnego miejsca?



PS. Nie mogłem wcześniej odpisywać, bo burza i problemy z internetem.

[Spektralny]

Bardzo ładnie i dokładnie. Tak.

[Czeczot]

ale dlaczego \(\displaystyle{ (a_n)_{n=1}^\infty}\) jest nierosnący od pewnego wyrazu?

[Spektralny]

Ah, nie tyle nierosnący, co zbieżny do 0, to miałem na myśli.

EDIT: Przepraszam, ja chyba źle przeczytałem to zadanie. Liczba \(\displaystyle{ k}\) jest przecież ustalona... Możesz więc teraz rozdzielić sumowanie prawej strony na \(\displaystyle{ k}\) sum.

[Czeczot]

EDIT: Przepraszam, ja chyba źle przeczytałem to zadanie. Liczba \(\displaystyle{ k}\) jest przecież ustalona... Możesz więc teraz rozdzielić sumowanie prawej strony na \(\displaystyle{ k}\) sum.

tzn. chodzi Ci o

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{a_{n+1}+...+a_{n+k}}{k} =\sum_{n=1}^{ \infty }\frac{a_{n+1}}{k}+\sum_{n=1}^{ \infty }\frac{a_{n+2}}{k}+...+\sum_{n=1}^{ \infty }\frac{a_{n+k}}{k} \\ \le \sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n+1}}+\sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n+2}}+...+\sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n+k}}=\sum_{n=1}^{ \infty }(a_{n+1}+...+a_{n+k})}\)

?