Rownania różniczkowe I i II rzędu oraz rozdzielnych zmienych

[obi1993]

witam,
tak jak w temacie potrzebuje rozwiazan do 3 zadanek ,
tylko nie wiem jak rozpoznawac ktore to ktore.

chcialbym zobaczyc jak to wyglada krok po kroku tak zebym
sie nie pogubil w rozwiazywaniu.

oto przyklady:

\(\displaystyle{ y"+4y'=3x \\
y'=2y+x \\
y'= \frac{1}{x}y+x^{3}}\)
bede bardzo wdzieczny jesli ktos sprobowalby mi to wytlumaczyc pozdrawiam\(\displaystyle{ }\)

[cosinus90]

1. Podstaw \(\displaystyle{ z=y'}\) i rozwiąż równanie niejednorodne.
2. Równanie niejednorodne.
3. Równanie niejednorodne.

Znasz metody rozwiązywania takiego równania?

[obi1993]

no wlasnie nie , szukam roznych pdfow z rozniczkami i wszystko zapisane w jezyku niezrozumialym dla mnie

[cosinus90]

OK. Weźmy równanie 2.
Przenosisz wszystko co zawiera \(\displaystyle{ y}\) na lewą stronę i najpierw przyrównujesz to do zera.

[obi1993]

\(\displaystyle{ y'-2y=0}\). <--- a co z \(\displaystyle{ x}\) robimy?

[cosinus90]

Prawą stronę równania uwzględnia się dopiero po wyznaczeniu rozwiązania równania jednorodnego,które właśnie napisałeś. Rozwiąż je zatem.

I ogólnie popraw zapis, ujmuj w klamry

Kod: Zaznacz cały

[tex][/tex]

[obi1993]

chyba nie da rady, za malo wskazowek dostalem.. a jakbys mi to bardziej lopatologicznie napisal?

[cosinus90]

Wobec tego otwórz książkę lub idź na korepetycje bo masz poważne braki. Musisz umieć rozwiązywać najprostsze równania, inaczej tego nie jesteś w stanie ruszyć. Jak będziesz umiał, to wróć.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ y'= \frac{1}{x}y+x^{3}\\
y^{\prime}-\frac{1}{x}y=x^{3}\\
\mu\left( x\right)y^{\prime}-\frac{1}{x}\mu\left( x\right)y=\mu\left( x\right)x^{3}\\}\)

Pamiętasz wzór na pochodną iloczynu ?
Mnożąc równanie przez nieznaną funkcję można sprawić aby
lewa strona równania rzeczywiście nią była

\(\displaystyle{ \left( fg\right)^{\prime}=f^{\prime}g+g^{\prime}f\\
\left|\begin{array}{cc}f=y&f^{\prime}=y^{\prime}&g=\mu\left( x\right)&g^{\prime}=-\frac{1}{x}\mu\left( x\right) \end{array}\right|\\}\)

Z powyższego mamy równanie w którym to łatwo rozdzielimy zmienne

\(\displaystyle{ \mu^{\prime}\left( x\right)=-\frac{1}{x}\mu\left( x\right) \\
\frac{\mu^{\prime}\left( x\right) }{\mu\left( x\right) }=-\frac{1}{x}\\
\frac{ \mbox{d}\mu}{\mu}=- \frac{ \mbox{d}x }{x}\\
\ln{\left| \mu\right| }=-\ln{\left| x\right| }\\
\mu\left( x\right)=\frac{1}{x}\\}\)

Stałą można tu było zaniedbać ponieważ potrzebna nam tylko jedna funkcja \(\displaystyle{ \mu\left( x\right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{x}y^{\prime}- \frac{1}{x^2}y=x^2\\
\left( \frac{1}{x} \cdot y \right)^{\prime}=x^{2}\\
\frac{y}{x}= \frac{x^3}{3}+C\\
y= \frac{x^4}{3}+Cx}\)