proszę o pomoc z takim zadaniem
\(\displaystyle{ a_1+a_2+...+a_n+...}\) jest zbieżnym szeregiem takim, że \(\displaystyle{ 0 > a_1 \ge a_2 \ge ... \ge a_n \ge...}\). Obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty }na_n}\)
szereg zbieżny
-
Rumek
- Użytkownik
- Posty: 95
- Rejestracja: 12 kwie 2011, o 12:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 20 razy
szereg zbieżny
Ustalmy \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) . Skoro szereg jest zbieżny to spełnia warunek Cauchy'ego. Istnieje więc takie \(\displaystyle{ N\in\NN}\) , że dla \(\displaystyle{ n>N}\) i każdego \(\displaystyle{ k\in\NN}\) jest
\(\displaystyle{ a_{n+1} + a_{n+2} + ... + a_{n+k} < \varepsilon}\)
A ponieważ, mamy monotoniczność to dostajemy
\(\displaystyle{ ka_{n+k} < \varepsilon}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ k}\) było dowolne to wstaw sobie w jego miejsce najpierw \(\displaystyle{ n}\) potem \(\displaystyle{ n+1}\) popatrz na te dwie nierówności i powinieneś spokojnie wywnioskować z nich, że ta granica to \(\displaystyle{ 0}\) .
\(\displaystyle{ a_{n+1} + a_{n+2} + ... + a_{n+k} < \varepsilon}\)
A ponieważ, mamy monotoniczność to dostajemy
\(\displaystyle{ ka_{n+k} < \varepsilon}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ k}\) było dowolne to wstaw sobie w jego miejsce najpierw \(\displaystyle{ n}\) potem \(\displaystyle{ n+1}\) popatrz na te dwie nierówności i powinieneś spokojnie wywnioskować z nich, że ta granica to \(\displaystyle{ 0}\) .
-
Czeczot
- Użytkownik
- Posty: 256
- Rejestracja: 20 maja 2013, o 11:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnów
- Podziękował: 147 razy
szereg zbieżny
nie rozumiem, tzn. rozumiem te nierówności co napisałeś i rozumiem, że \(\displaystyle{ ka_{n+k}}\) ma granicę w zerze, co wynika z tego oszacowania, ale \(\displaystyle{ (n+k)a_{n+k} > ka_{n+k}}\), więc w jaki sposób jest oszacowany ciąg \(\displaystyle{ na_n}\)?Rumek pisze:
Ponieważ \(\displaystyle{ k}\) było dowolne to wstaw sobie w jego miejsce najpierw \(\displaystyle{ n}\) potem \(\displaystyle{ n+1}\) popatrz na te dwie nierówności i powinieneś spokojnie wywnioskować z nich, że ta granica to \(\displaystyle{ 0}\) .
-
Rumek
- Użytkownik
- Posty: 95
- Rejestracja: 12 kwie 2011, o 12:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 20 razy
szereg zbieżny
Trochę źle mnie zrozumiałeś, dla \(\displaystyle{ k = n}\) jest
\(\displaystyle{ na_{2n} < \varepsilon}\) czyli \(\displaystyle{ 2na_{2n} < 2\varepsilon}\)
Dla \(\displaystyle{ k = n+1}\) jest
\(\displaystyle{ (n+1)a_{2n+1} < \varepsilon}\) czyli \(\displaystyle{ 2(n+1)a_{2n+1} <2\varepsilon}\) tymbardziej \(\displaystyle{ (2n+1)a_{2n+1} < 2\varepsilon}\) bo wszystkie wyrazy są dodatnie.
Czyli podciąg o wyrazach parzystych i podciąg o wyrazach nieparzystych zbiega do zera.
Żeby było elegancko teraz widać, że na początku można było brać \(\displaystyle{ \frac{\varepsilon}{2}}\) i wtedy z tych dwóch nierówności wynikałoby, że \(\displaystyle{ na_n < \varepsilon}\) dla wszelkich \(\displaystyle{ n > 2N}\).
\(\displaystyle{ na_{2n} < \varepsilon}\) czyli \(\displaystyle{ 2na_{2n} < 2\varepsilon}\)
Dla \(\displaystyle{ k = n+1}\) jest
\(\displaystyle{ (n+1)a_{2n+1} < \varepsilon}\) czyli \(\displaystyle{ 2(n+1)a_{2n+1} <2\varepsilon}\) tymbardziej \(\displaystyle{ (2n+1)a_{2n+1} < 2\varepsilon}\) bo wszystkie wyrazy są dodatnie.
Czyli podciąg o wyrazach parzystych i podciąg o wyrazach nieparzystych zbiega do zera.
Żeby było elegancko teraz widać, że na początku można było brać \(\displaystyle{ \frac{\varepsilon}{2}}\) i wtedy z tych dwóch nierówności wynikałoby, że \(\displaystyle{ na_n < \varepsilon}\) dla wszelkich \(\displaystyle{ n > 2N}\).